クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のマップ（写像）によるクウォシェント（商）スペース（空間）からコドメイン（余域）へのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクウォシェント（商）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のマップ（写像）によるクウォシェント（商）スペース（空間）からコドメイン（余域）へのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のクウォシェント（商）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)に対して、マップ（写像）\(f': T_1 / f \rightarrow T_2\)はコンティニュアス（連続）である、ここで、\(T_1 / f\)は\(f\)によるクウォシェント（商）スペース（空間）である、それが意味するのは、各\(p \in T_2\)に対して\(f^{-1} (p)\)が同一視される。
2: 証明
\(f = f' \circ f''\)、ここで、\(f'': T_1 \rightarrow T_1 / f\)。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_2\)に対して、\({f'}^{-1} (U)\)はオープン（開）か？クウォシェント（商）トポロジーの定義によって、当該オープン（開）性は\({f''}^{-1} ({f'}^{-1} (U))\)のオープン（開）性である、しかし、\({f''}^{-1} ({f'}^{-1} (U)) = (f' \circ f'')^{-1} (U) = f^{-1} (U)\)、それはオープン（開）である、\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから。
