247: クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のマップ（写像）によるクウォシェント（商）スペース（空間）からコドメイン（余域）へのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である

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クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のマップ（写像）によるクウォシェント（商）スペース（空間）からコドメイン（余域）へのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のクウォシェント（商）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のマップ（写像）によるクウォシェント（商）スペース（空間）からコドメイン（余域）へのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のクウォシェント（商）マップ（写像）$f:T_1\to T_2$に対して、マップ（写像）$f^{\prime }:T_1/f\to T_2$はコンティニュアス（連続）である、ここで、$T_1/f$は$f$によるクウォシェント（商）スペース（空間）である、それが意味するのは、各$p\in T_2$に対して$f^{-1}(p)$が同一視される。

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2: 証明

$f=f^{\prime }\circ f^{″}$、ここで、$f^{″}:T_1\to T_1/f$。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_2$に対して、${f^{\prime }}^{-1}(U)$はオープン（開）か？クウォシェント（商）トポロジーの定義によって、当該オープン（開）性は${f^{″}}^{-1}({f^{\prime }}^{-1}(U))$のオープン（開）性である、しかし、${f^{″}}^{-1}({f^{\prime }}^{-1}(U))=(f^{\prime }\circ f^{″}{)}^{-1}(U)=f^{-1}(U)$、それはオープン（開）である、$f$はコンティニュアス（連続）であるから。

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参考資料

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