クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクウォシェント（商）マップ（写像）に対して、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、当該サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1\)および\(T_2\)、任意のクウォシェント（商）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_2\)に対して、\(S\)はクローズド（閉）である、もしも、\(f^{-1} (S)\)がクローズド（閉）である場合。
2: 証明
\(f^{-1} (S)\)はクローズド（閉）であると仮定する。\(f^{-1} (T_2 \setminus S) = T_1 \setminus f^{-1} (S)\)、任意のマップ（写像）の、コドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって。\(T_1 \setminus f^{-1} (S)\)はオープン（開）であるから、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義によって、\(T_2 \setminus S\)はオープン（開）である。したがって、\(S\)はクローズド（閉）である。
