245: クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合

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クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）の、コドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のクウォシェント（商）マップ（写像）に対して、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、当該サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1$および$T_2$、任意のクウォシェント（商）マップ（写像）$f:T_1\to T_2$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T_2$に対して、$S$はクローズド（閉）である、もしも、$f^{-1}(S)$がクローズド（閉）である場合。

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2: 証明

$f^{-1}(S)$はクローズド（閉）であると仮定する。$f^{-1}(T_2\setminus S)=T_1\setminus f^{-1}(S)$、任意のマップ（写像）の、コドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって。$T_1\setminus f^{-1}(S)$はオープン（開）であるから、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義によって、$T_2\setminus S$はオープン（開）である。したがって、$S$はクローズド（閉）である。

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参考資料

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