トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）のオープン（開）性はスーパースペース（空間）に依存しないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
- 本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および以下を満たす任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）たち\(T_1, T_2\)の任意のネスト、つまり、\(T_2 \subseteq T_1 \subseteq T\)、に対して、もしも、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_2\)が、\(T_2\)を\(T_1\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であるかオープン（開）でない場合、\(S\)は、\(T_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であるかオープン（開）でない; もしも、\(S\)が、\(T_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であるかオープン（開）でない場合、\(S\)は、\(T_2\)を\(T_1\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であるかオープン（開）でない。
2: 証明
\(S\)は、\(T_2\)を\(T_1\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であると仮定する。以下を満たすあるオープンセット（開集合）\(U_1 \subseteq T_1\)、つまり、\(S = U_1 \cap T_2\)がある。\(T_1\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）であるから、以下を満たすあるオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)、つまり、\(U_1 = U \cap T_1\)、がある。したがって、\(S = U \cap T_1 \cap T_2 = U \cap T_2\)、したがって、\(S\)は、\(T_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）である。
\(S\)は、\(T_2\)を\(T_1\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）でないと仮定する。以下を満たすオープンセット（開集合）\(U_1 \subseteq T_1\)、つまり、\(S = U_1 \cap T_2\)、はない。\(T_1\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）であるので、以下を満たすオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)、つまり、\(U_1 = U \cap T_1\)で\(S = U_1 \cap T_2 = U \cap T_1 \cap T_2 = U \cap T_2\)、はない。したがって、\(S\)は、\(T_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）でない。
\(S\)は、\(T_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であると仮定する。以下を満たすあるオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)、つまり、\(S = U \cap T_2\)、がある。しかし、\(S = U \cap T_1 \cap T_2\)。\(T_1\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）であるから、\(U \cap T_1\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、したがって、\(S\)は、\(T_2\)を\(T_1\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）である。
\(S\)は、\(T_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であると仮定する。以下を満たすオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)、つまり、\(S = U \cap T_2\)、はない。しかし、\(U \cap T_2 = U \cap T_1 \cap T_2\)。\(T_1\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）であるので、\(T_1\)上の任意のオープンセット（開集合）は\(U \cap T_1\)でなければならない、しかし、そうした\(U\)はないので、\(S\)は、\(T_2\)を\(T_1\)のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）でない。
