224: トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）のオープン（開）性はスーパースペース（空間）に依存しない

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）のオープン（開）性はスーパースペース（空間）に依存しないことの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
• 本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および以下を満たす任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）たち$T_1,T_2$の任意のネスト、つまり、$T_2\subseteq T_1\subseteq T$、に対して、もしも、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T_2$が、$T_2$を$T_1$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であるかオープン（開）でない場合、$S$は、$T_2$を$T$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であるかオープン（開）でない; もしも、$S$が、$T_2$を$T$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であるかオープン（開）でない場合、$S$は、$T_2$を$T_1$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であるかオープン（開）でない。

---

2: 証明

$S$は、$T_2$を$T_1$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であると仮定する。以下を満たすあるオープンセット（開集合）$U_1\subseteq T_1$、つまり、$S=U_1\cap T_2$がある。$T_1$は$T$のサブスペース（部分空間）であるから、以下を満たすあるオープンセット（開集合）$U\subseteq T$、つまり、$U_1=U\cap T_1$、がある。したがって、$S=U\cap T_1\cap T_2=U\cap T_2$、したがって、$S$は、$T_2$を$T$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）である。

$S$は、$T_2$を$T_1$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）でないと仮定する。以下を満たすオープンセット（開集合）$U_1\subseteq T_1$、つまり、$S=U_1\cap T_2$、はない。$T_1$は$T$のサブスペース（部分空間）であるので、以下を満たすオープンセット（開集合）$U\subseteq T$、つまり、$U_1=U\cap T_1$で$S=U_1\cap T_2=U\cap T_1\cap T_2=U\cap T_2$、はない。したがって、$S$は、$T_2$を$T$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）でない。

$S$は、$T_2$を$T$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であると仮定する。以下を満たすあるオープンセット（開集合）$U\subseteq T$、つまり、$S=U\cap T_2$、がある。しかし、$S=U\cap T_1\cap T_2$。$T_1$は$T$のサブスペース（部分空間）であるから、$U\cap T_1$は$T_1$上でオープン（開）である、したがって、$S$は、$T_2$を$T_1$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）である。

$S$は、$T_2$を$T$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）であると仮定する。以下を満たすオープンセット（開集合）$U\subseteq T$、つまり、$S=U\cap T_2$、はない。しかし、$U\cap T_2=U\cap T_1\cap T_2$。$T_1$は$T$のサブスペース（部分空間）であるので、$T_1$上の任意のオープンセット（開集合）は$U\cap T_1$でなければならない、しかし、そうした$U$はないので、$S$は、$T_2$を$T_1$のサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）でない。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>