223: 有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のデュアルは同一次元ベクトルスペース（空間）を構成する

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のデュアルは同一次元ベクトルスペース（空間）を構成することの記述/証明

---

話題

About: ベクトルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルスペース（空間）のデュアルの定義を知っている。
• 読者は、任意の同一フィールド（体）上の任意の2つのベクトルスペース（空間）たちに対して、ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成するという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のデュアルは同一次元ベクトルスペース（空間）を構成するという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）$V$に対して、デュアル$V^{\ast }$は同一次元ベクトルスペース（空間）を構成する。

---

2: 証明

$V^{\ast }$は$Hom(V,\mathbb{R})$であり、任意の同一フィールド（体）上の任意の2つのベクトルスペース（空間）たちに対して、ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成するという命題によって、$V^{\ast }$はベクトルスペース（空間）を構成する。

$V$は$d$次元であるから、あるベーシス（基底）$b_1,b_2,...,b_d$があり、任意の$v\in V$に対して、$v=v^i{b}_i$。ある要素$b^{\prime i}\in V^{\ast }$を$b^{\prime i}(v^j{b}_j)=v^i$、ここで、$i=1,2,...,d$、と定義しよう、それは、実際リニア（線形）である、なぜなら、$b^{\prime i}(r_1{v}_1+r_2{v}_2)=b^{\prime i}(r_1{v_1}^j{b}_j+r_2{v_2}^j{b}_j)=r_1{v_1}^i+r_2{v_2}^i=r_1{b}^{\prime i}(v_1)+r_2{b}^{\prime i}(v_2)$。$b^{\prime 1},b^{\prime 2},...,b^{\prime d}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるか？$c_i{b}^{\prime i}=0$、ここで、$c_i\in \mathbb{R}$、に対して、$c_i{b}^{\prime i}(b_j)=c_j=0(b_j)=0$。したがって、はい、$b^{\prime 1},b^{\prime 2},...,b^{\prime d}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。${v^{\prime }}_i{b}^{\prime i}$は$V^{\ast }$をカバーするか？任意の$f\in V^{\ast }$に対して、$f^{\prime }=f(b_i)b^{\prime i}$を定義しよう。任意の$v\in V$に対して、$v=v^i{b}_i$、そして、$f(v)=f(v^i{b}_i)=v^{i}f(b_i)=v^i{f}^{\prime }(b_i)=f^{\prime }(v^i{b}_i)=f^{\prime }(v)$、したがって、$f$と$f^{\prime }$は同一である。したがって、はい、${v^{\prime }}_i{b}^{\prime i}$は$V^{\ast }$をカバーする。したがって、$b^{\prime 1},b^{\prime 2},...,b^{\prime d}$は$V^{\ast }$のベーシス（基底）であり、$V^{\ast }$は$d$次元ベクトルスペース（空間）である。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>