有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のデュアルは同一次元ベクトルスペース（空間）を構成することの記述/証明
話題
About: ベクトルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルスペース（空間）のデュアルの定義を知っている。
- 読者は、任意の同一フィールド（体）上の任意の2つのベクトルスペース（空間）たちに対して、ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のデュアルは同一次元ベクトルスペース（空間）を構成するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）\(V\)に対して、デュアル\(V^*\)は同一次元ベクトルスペース（空間）を構成する。
2: 証明
\(V^*\)は\(Hom (V, \mathbb{R})\)であり、任意の同一フィールド（体）上の任意の2つのベクトルスペース（空間）たちに対して、ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成するという命題によって、\(V^*\)はベクトルスペース（空間）を構成する。
\(V\)は\(d\)次元であるから、あるベーシス（基底）\(b_1, b_2, . . ., b_d\)があり、任意の\(v \in V\)に対して、\(v = v^i b_i\)。ある要素\(b'^i \in V^*\)を\(b'^i (v^j b_j) = v^i\)、ここで、\(i = 1, 2, ..., d\)、と定義しよう、それは、実際リニア（線形）である、なぜなら、\(b'^i (r_1 v_1 + r_2 v_2) = b'^i (r_1 {v_1}^j b_j + r_2 {v_2}^j b_j) = r_1 {v_1}^i + r_2 {v_2}^i = r_1 b'^i (v_1) + r_2 b'^i (v_2)\)。\(b'^1, b'^2, . . ., b'^d\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるか？\(c_i b'^i = 0\)、ここで、\(c_i \in \mathbb{R}\)、に対して、\(c_i b'^i (b_j) = c_j = 0 (b_j) = 0\)。したがって、はい、\(b'^1, b'^2, . . ., b'^d\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。\({v'}_i b'^i\)は\(V^*\)をカバーするか？任意の\(f \in V^*\)に対して、\(f' = f (b_i) b'^i\)を定義しよう。任意の\(v \in V\)に対して、\(v = v^i b_i\)、そして、\(f (v) = f (v^i b_i) = v^i f(b_i) = v^i f' (b_i) = f' (v^i b_i) = f' (v)\)、したがって、\(f\)と\(f'\)は同一である。したがって、はい、\({v'}_i b'^i\)は\(V^*\)をカバーする。したがって、\(b'^1, b'^2, . . ., b'^d\)は\(V^*\)のベーシス（基底）であり、\(V^*\)は\(d\)次元ベクトルスペース（空間）である。
