225: コンプリメントが有限であるオープンセット（開集合）たちと空集合を合わせたものはトポロジーである

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コンプリメントが有限であるオープンセット（開集合）たちと空集合を合わせたものはトポロジーであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）に対して、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）であって、サブセット（部分集合）たちは、コンプリメントが有限であるような全サブセット（部分集合）たちと空集合であるもの、はトポロジーを構成するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）$S$に対して、以下を満たすサブセット（部分集合）たちのセット（集合）$O$、つまり、$S_{\alpha }\in O$である、もしも、$S\setminus S_{\alpha }$が有限であるまたは$S_{\alpha }=\mathrm{\varnothing }$である場合、そしてその場合に限って、はトポロジーを構成する。

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2: 証明

$S\in O$である、$S\setminus S=\mathrm{\varnothing }$は有限であるから。$\mathrm{\varnothing }\in O$である。

${\cup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$は任意の$\{\alpha \}$に対してオープン（開）であるか？$S\setminus {\cup }_{\alpha }{S}_{\alpha }={\cap }_{\alpha }S\setminus S_{\alpha }$、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。$S\setminus S_{\alpha }$は有限であるから、${\cap }_{\alpha }S\setminus S_{\alpha }$は有限である。

${\cap }_i{S}_i$は任意の有限$\{i\}$に対してオープン（開）であるか？$S\setminus {\cap }_i{S}_i={\cup }_{i}S\setminus S_i$、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。$S\setminus S_i$は有限であり$\{i\}$は有限であるので、${\cup }_{i}S\setminus S_i$は有限である。

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参考資料

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