コンプリメントが有限であるオープンセット（開集合）たちと空集合を合わせたものはトポロジーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）であって、サブセット（部分集合）たちは、コンプリメントが有限であるような全サブセット（部分集合）たちと空集合であるもの、はトポロジーを構成するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）\(S\)に対して、以下を満たすサブセット（部分集合）たちのセット（集合）\(O\)、つまり、\(S_\alpha \in O\)である、もしも、\(S \setminus S_\alpha\)が有限であるまたは\(S_\alpha = \emptyset\)である場合、そしてその場合に限って、はトポロジーを構成する。
2: 証明
\(S \in O\)である、\(S \setminus S = \emptyset\)は有限であるから。\(\emptyset \in O\)である。
\(\cup_\alpha S_\alpha\)は任意の\(\{\alpha\}\)に対してオープン（開）であるか？\(S \setminus \cup_\alpha S_\alpha = \cap_\alpha S \setminus S_\alpha\)、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。\(S \setminus S_\alpha\)は有限であるから、\(\cap_\alpha S \setminus S_\alpha\)は有限である。
\(\cap_i S_i\)は任意の有限\(\{i\}\)に対してオープン（開）であるか？\(S \setminus \cap_i S_i = \cup_i S \setminus S_i\)、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。\(S \setminus S_i\)は有限であり\(\{i\}\)は有限であるので、\(\cup_i S \setminus S_i\)は有限である。
