242: 任意のコンプリメント（補集合）たちのプロダクトは、セット（集合）全体たちのプロダクトマイナス、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）である

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任意のコンプリメント（補集合）たちのプロダクトは、セット（集合）全体たちのプロダクトマイナス、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンプリメント（補集合）たちのプロダクトは、セット（集合）全体たちのプロダクトマイナス、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2,...,S_n$および任意のサブセット（部分集合）たち$S_i^{\prime }\subseteq S_i$に対して、$(S_1\setminus S_1^{\prime })\times (S_2\setminus S_2^{\prime })\times ...\times (S_n\setminus S_n^{\prime })=S_1\times S_2\times ...\times S_n\setminus ((S_1^{\prime }\times S_2\times ...\times S_n)\cup (S_1\times S_2^{\prime }\times ...\times S_n)\cup ...\cup (S_1\times S_2\times ...\times S_n^{\prime }))$。

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2: 証明

任意の$p=(p_1,p_2,...,p_n)\in (S_1\setminus S_1^{\prime })\times (S_2\setminus S_2^{\prime })\times ...\times (S_n\setminus S_n^{\prime })$に対して、$p_i\in S_i\setminus S_i^{\prime }$, $p_i\notin S_i^{\prime }$、$(p_1,p_2,...,p_n)\notin S_1\times S_2\times ...\times S_i^{\prime }\times ...\times S_n$、したがって、$p\in S_1\times S_2\times ...\times S_n\setminus ((S_1^{\prime }\times S_2\times ...\times S_n)\cup (S_1\times S_2^{\prime }\times ...\times S_n)\cup ...\cup (S_1\times S_2\times ...\times S_n^{\prime }))$; 任意の$p\in S_1\times S_2\times ...\times S_n\setminus ((S_1^{\prime }\times S_2\times ...\times S_n)\cup (S_1\times S_2^{\prime }\times ...\times S_n)\cup ...\cup (S_1\times S_2\times ...\times S_n^{\prime }))$に対して、$p\notin (S_1^{\prime }\times S_2\times ...\times S_n)\cup (S_1\times S_2^{\prime }\times ...\times S_n)\cup ...\cup (S_1\times S_2\times ...\times S_n^{\prime })$、各$i$に対して$p\notin S_1\times S_2\times ...\times S_i^{\prime }\times ...\times S_n$、各$i$に対して$p_i\notin S_i^{\prime }$、各$i$に対して$p_i\in S_i\setminus S_i^{\prime }$、したがって、$p\in (S_1\setminus S_1^{\prime })\times (S_2\setminus S_2^{\prime })\times ...\times (S_n\setminus S_n^{\prime })$。

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参考資料

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