任意のコンプリメント（補集合）たちのプロダクトは、セット（集合）全体たちのプロダクトマイナス、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプリメント（補集合）たちのプロダクトは、セット（集合）全体たちのプロダクトマイナス、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2, . . ., S_n\)および任意のサブセット（部分集合）たち\(S'_i \subseteq S_i\)に対して、\((S_1 \setminus S'_1) \times (S_2 \setminus S'_2) \times . . . \times (S_n \setminus S'_n) = S_1 \times S_2 \times . . . \times S_n \setminus ((S'_1 \times S_2 \times . . . \times S_n) \cup (S_1 \times S'_2 \times . . . \times S_n) \cup . . . \cup (S_1 \times S_2 \times . . . \times S'_n))\)。
2: 証明
任意の\(p = (p_1, p_2, . . ., p_n) \in (S_1 \setminus S'_1) \times (S_2 \setminus S'_2) \times . . . \times (S_n \setminus S'_n)\)に対して、\(p_i \in S_i \setminus S'_i\), \(p_i \notin S'_i\)、\((p_1, p_2, . . ., p_n) \notin S_1 \times S_2 \times . . . \times S'_i \times ... \times S_n\)、したがって、\(p \in S_1 \times S_2 \times . . . \times S_n \setminus ((S'_1 \times S_2 \times . . . \times S_n) \cup (S_1 \times S'_2 \times . . . \times S_n) \cup . . . \cup (S_1 \times S_2 \times . . . \times S'_n))\); 任意の\(p \in S_1 \times S_2 \times . . . \times S_n \setminus ((S'_1 \times S_2 \times . . . \times S_n) \cup (S_1 \times S'_2 \times . . . \times S_n) \cup . . . \cup (S_1 \times S_2 \times . . . \times S'_n))\)に対して、\(p \notin (S'_1 \times S_2 \times . . . \times S_n) \cup (S_1 \times S'_2 \times . . . \times S_n) \cup . . . \cup (S_1 \times S_2 \times . . . \times S'_n)\)、各\(i\)に対して\(p \notin S_1 \times S_2 \times . . . \times S'_i \times . . . \times S_n\)、各\(i\)に対して\(p_i \notin S'_i\)、各\(i\)に対して\(p_i \in S_i \setminus S'_i\)、したがって、\(p \in (S_1 \setminus S'_1) \times (S_2 \setminus S'_2) \times . . . \times (S_n \setminus S'_n)\)。
