サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分はサブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）に包含されていることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分は、当該サブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1\)および\(S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_3, S_4 \subseteq S_1\)に対して、\(f (S_3) \setminus f (S_4) \subseteq f (S_3 \setminus S_4)\)。
2: 証明
任意の\(p \in f (S_3) \setminus f (S_4)\)に対して、\(p \in f (S_3)\)および\(p \notin f (S_4)\)、以下を満たすある\(p' \in S_3\)、つまり、\(p = f (p')\)、がある、しかし、\(p' \notin S_4\)、なぜなら、そうでなければ、\(p = f (p') \in f (S_4)\)、矛盾、したがって、ある\(p' \in S_3 \setminus S_4\)があって、\(f (p') = p \in f (S_3 \setminus S_4)\)。
なぜ、\(f (S_3) \setminus f (S_4) = f (S_3 \setminus S_4)\)でないのか？任意の\(p \in f (S_3 \setminus S_4)\)に対して、以下を満たすある\(p' \in S_3 \setminus S_4\)、つまり、\(p = f (p')\)、がある、しかし、\(f (p')\)は\(f (S_4)\)内にいるかもしれない、なぜなら、\(f\)は必ずしもインジェクティブ（単射）でないから、\(f^{-1} (f (S_4))\)は必ずしも\(S_4\)でない、したがって、\(p' \notin S_4\)は\(f (S_4)\)の中へマップ（写像）するかもしれない。
