243: サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分はサブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）に包含されている

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サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分はサブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）に包含されていることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分は、当該サブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1$および$S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_3,S_4\subseteq S_1$に対して、$f(S_3)\setminus f(S_4)\subseteq f(S_3\setminus S_4)$。

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2: 証明

任意の$p\in f(S_3)\setminus f(S_4)$に対して、$p\in f(S_3)$および$p\notin f(S_4)$、以下を満たすある$p^{\prime }\in S_3$、つまり、$p=f(p^{\prime })$、がある、しかし、$p^{\prime }\notin S_4$、なぜなら、そうでなければ、$p=f(p^{\prime })\in f(S_4)$、矛盾、したがって、ある$p^{\prime }\in S_3\setminus S_4$があって、$f(p^{\prime })=p\in f(S_3\setminus S_4)$。

なぜ、$f(S_3)\setminus f(S_4)=f(S_3\setminus S_4)$でないのか？任意の$p\in f(S_3\setminus S_4)$に対して、以下を満たすある$p^{\prime }\in S_3\setminus S_4$、つまり、$p=f(p^{\prime })$、がある、しかし、$f(p^{\prime })$は$f(S_4)$内にいるかもしれない、なぜなら、$f$は必ずしもインジェクティブ（単射）でないから、$f^{-1}(f(S_4))$は必ずしも$S_4$でない、したがって、$p^{\prime }\notin S_4$は$f(S_4)$の中へマップ（写像）するかもしれない。

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参考資料

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