240: 2次元より高いかもしれないマトリックスをインデックスたちペアについてシンメトリック（対称）なパートとアンチシンメトリック（反対称）なパートに分割することについてのいくつかの事実たち

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2次元より高いかもしれないマトリックス（行列）をインデックスたちペアについてシンメトリック（対称）なパートとアンチシンメトリック（反対称）なパートに分割することについてのいくつかの事実たちの記述/証明

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話題

About: マトリックス（行列）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述1
• 2: 証明1
• 3: 記述2
• 4: 証明2
• 5: 記述3
• 6: 証明3
• 7: 記述4
• 8: 証明4

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開始コンテキスト

• 読者は、マトリックス（行列）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2次元より高いかもしれないマトリックス（行列）をインデックスたちペアについてシンメトリック（対称）なパートとアンチシンメトリック（反対称）なパートに分割することについてのいくつかの事実たちの記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述1

任意の2次元より高いかもしれないマトリックス（行列）$M_{i,j,...,k}$は、任意のインデックスたちペア、例えば$(i,j)$、についてあるシンメトリック（対称）なパートとあるアンチシンメトリック（反対称）なパートの和である。

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2: 証明1

3次元のケースたち$M_{i,j,k}$のみを考えよう、より高い次元のケースたちは容易に類推できるから。

$k$を固定してペア$(i,j)$が選ばれた後、$M_{i,j,k}$は2次元マトリックス（行列）$M(k{)}_{i,j}$である。$M(k{)}_{i,j}=2^{-1}(M(k{)}_{i,j}+M(k{)}_{j,i})+2^{-1}(M(k{)}_{i,j}-M(k{)}_{j,i})$。${M(k{)}_{i,j}}^{\prime }:=2^{-1}(M(k{)}_{i,j}+M(k{)}_{j,i})$はシンメトリック（対称）である、なぜなら、${M(k{)}_{j,i}}^{\prime }=2^{-1}(M(k{)}_{j,i}+M(k{)}_{i,j})=2^{-1}(M(k{)}_{i,j}+M(k{)}_{j,i})={M(k{)}_{i,j}}^{\prime }$; ${M(k{)}_{i,j}}^{″}:=2^{-1}(M(k{)}_{i,j}-M(k{)}_{j,i})$はアンチシンメトリック（反対称）である、なぜなら、${M(k{)}_{j,i}}^{″}:=2^{-1}(M(k{)}_{j,i}-M(k{)}_{i,j})=-2^{-1}(M(k{)}_{i,j}-M(k{)}_{j,i})=-{M(k{)}_{i,j}}^{″}$。

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3: 記述2

記述1の分割はユニークである。

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4: 証明2

3次元のケースたちのみ$M_{i,j,k}$を考えよう、以前と同じように。

記述1によって、$M(k{)}_{i,j}={M(k{)}_{i,j}}^{\prime }+{M(k{)}_{i,j}}^{″}$。別の分割 $M(k{)}_{i,j}={M(k{)}_{i,j}}^{‴}+{M(k{)}_{i,j}}^{⁗}$、ここで、${M(k{)}_{i,j}}^{‴}$はシンメトリック（対称）で${M(k{)}_{i,j}}^{⁗}$はアンチシンメトリック（反対称）、があったと仮定しよう。$M(k{)}_{i,j}+M(k{)}_{j,i}={M(k{)}_{i,j}}^{\prime }+{M(k{)}_{i,j}}^{″}+{M(k{)}_{j,i}}^{\prime }+{M(k{)}_{j,i}}^{″}=2{M(k{)}_{i,j}}^{\prime }$; 同様に、$M(k{)}_{i,j}+M(k{)}_{j,i}=2{M(k{)}_{i,j}}^{‴}$。したがって、$2{M(k{)}_{i,j}}^{\prime }=2{M(k{)}_{i,j}}^{‴}$、そして、${M(k{)}_{i,j}}^{\prime }={M(k{)}_{i,j}}^{‴}$。${M(k{)}_{i,j}}^{″}=M(k{)}_{i,j}-{M(k{)}_{i,j}}^{\prime }=M(k{)}_{i,j}-{M(k{)}_{i,j}}^{‴}={M(k{)}_{i,j}}^{⁗}$。

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5: 記述3

記述1のシンメトリック（対称）パートまたはアンチシンメトリック（反対称）パートは、非シンメトリック（対称）パートたちまたは非アンチシンメトリック（反対称）パートたちに分割することができるかもしれない、それが意味するのは、例えば、${M(k{)}_{i,j}}^{\prime }={M(k{)}_{i,j}}_1^{\prime }+{M(k{)}_{i,j}}_2^{\prime }$の時、${M(k{)}_{i,j}}_i^{\prime }$はシンメトリック（対称）でないかもしれない。

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6: 証明3

本記述は明らかかもしれない、しかし、シンメトリック（対称）なパートの任意のパートはシンメトリック（対称）であると不注意に想像しないようにしよう。

1つの反例で十分だ。${M(k{)}_{1,1}}^{\prime }=1,{M(k{)}_{1,2}}^{\prime }=2,{M(k{)}_{2,1}}^{\prime }=2,{M(k{)}_{2,2}}^{\prime }=3$、それは実際シンメトリック（対称）である。${M(k{)}_{1,1}}_1^{\prime }=1,{M(k{)}_{1,2}}_1^{\prime }=1,{M(k{)}_{2,1}}_1^{\prime }=0,{M(k{)}_{2,2}}_1^{\prime }=1$および${M(k{)}_{1,1}}_2^{\prime }=0,{M(k{)}_{1,2}}_2^{\prime }=1,{M(k{)}_{2,1}}_2^{\prime }=2,{M(k{)}_{2,2}}_2^{\prime }=2$、それは、実際に${M(k{)}_{i,j}}^{\prime }={M(k{)}_{i,j}}_1^{\prime }+{M(k{)}_{i,j}}_2^{\prime }$を満たす、しかし、${M(k{)}_{1,2}}_1^{\prime }\ne {M(k{)}_{2,1}}_1^{\prime }$、非シンメトリック（対称）。

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7: 記述4

あるマトリックス（行列）は、同時に複数インデックスたちペアたちについてシンメトリック（対称）アンチシンメトリック（反対称）パートたちに必ずしも分割できない、それが意味するのは、例えば、ある$M_{i,j,k}$は以下のようにできない、つまり、$M_{i,j,k}={M_{i,j,k}}^{\prime }+{M_{i,j,k}}^{″}+{M_{i,j,k}}^{‴}+{M_{i,j,k}}^{⁗}$、ここで、${M_{i,j,k}}^{\prime }$は$(i,j)$についてシンメトリック（対称）で$j,k$についてシンメトリック（対称）、${M_{i,j,k}}^{″}$は$(i,j)$についてシンメトリック（対称）で$j,k$についてアンチシンメトリック（反対称）、${M_{i,j,k}}^{‴}$は$(i,j)$についてアンチシンメトリック（反対称）で$j,k$についてシンメトリック（対称）、${M_{i,j,k}}^{⁗}$は$(i,j)$についてアンチシンメトリック（反対称）で$j,k$についてアンチシンメトリック（反対称）である。

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8: 証明4

1つの反例で十分だ。$M(k{)}_{i,j}$は各$k$に対して$i,j$ペアについてシンメトリック（対称）であるケースを考えよう。したがって、$M_{i,j,k}=M(k{)}_{i,j}={M(k{)}_{i,j}}^{\prime }$。それを$(j,k)$ペアについて分割しよう: ${M(k{)}_{i,j}}^{\prime }=2^{-1}({M(k{)}_{i,j}}^{\prime }+{M(j{)}_{i,k}}^{\prime })+2^{-1}({M(k{)}_{i,j}}^{\prime }-{M(j{)}_{i,k}}^{\prime })$。$N_{i,j,k}:={M(k{)}_{i,j}}^{\prime }+{M(j{)}_{i,k}}^{\prime }$は、$(j,k)$ペアについてシンメトリック（対称）であるが、$(i,j)$ペアについてもはやシンメトリック（対称）でない、一般に${M(k{)}_{j,i}}^{\prime }+{M(i{)}_{j,k}}^{\prime }\ne {M(k{)}_{i,j}}^{\prime }+{M(j{)}_{i,k}}^{\prime }$であるから、それは記述3が述べていることである、例えば、$M_{1,1,1}=1;M_{1,1,2}=4;M_{1,2,1}=2;M_{1,2,2}=5;M_{2,1,1}=2;M_{2,1,2}=5;M_{2,2,1}=3;M_{2,2,2}=6$, $N_{1,1,1}=2;N_{1,1,2}=6;N_{1,2,1}=6;N_{1,2,2}=10;N_{2,1,1}=4;N_{2,1,2}=8;N_{2,2,1}=8;N_{2,2,2}=12$のとき、それは$i,j$ペアについてシンメトリック（対称）でない、$N_{1,2,1}\ne N_{2,1,1}$であるから。記述2によって、${M(k{)}_{i,j}}^{\prime }$を分割する他のオプションはない、したがって、$M_{i,j,k}$は望むように分割することはできない。

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参考資料

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