クローズドセット（閉集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーにおいてクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクローズドセット（閉集合）たち（各構成要素トポロジカルスペース（空間）から最大1つ）のディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーにおいてクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）\(T := \coprod_\alpha T_\alpha\)、任意のクローズドセット（閉集合）たち\(\{C_\beta \subseteq T_\beta\}\)、ここで、\(\{\beta\} \subseteq \{\alpha\}\)、に対して、\(\coprod_\beta C_\beta\)は\(T\)上でクローズド（閉）である。
2: 証明
\(\coprod_\beta C_\beta = \coprod_\beta T_\beta \setminus U_\beta\)、ここで、\(U_\beta \subseteq T_\beta\)は\(T_\beta\)上でオープン（開）。\(\coprod_\beta (T_\beta \setminus U_\beta) = \coprod_\beta T_\beta \setminus \coprod_\beta U_\beta\)、任意のコンプリメント（補集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はセット（集合）全体たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）マイナス 当該サブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）であるという命題によって。\(\coprod_\beta C_\beta = \coprod_\alpha T_\alpha \setminus \coprod_{\gamma \in \{\alpha\} \setminus \{\beta\}} T_\gamma \setminus \coprod_\beta U_\beta = \coprod_\alpha T_\alpha \setminus (\coprod_{\gamma \in \{\alpha\} \setminus \{\beta\}} T_\gamma \cup \coprod_\beta U_\beta)\)。\(\coprod_{\gamma \in \{\alpha\} \setminus \{\beta\}} T_\gamma \cup \coprod_\beta U_\beta\)はオープン（開）である。
