239: クローズドセット（閉集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーにおいてクローズド（閉）である

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クローズドセット（閉集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーにおいてクローズド（閉）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のコンプリメント（補集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はセット（集合）全体たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）マイナス　当該サブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のクローズドセット（閉集合）たち（各構成要素トポロジカルスペース（空間）から最大1つ）のディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーにおいてクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）$T:=\coprod _{\alpha }{T}_{\alpha }$、任意のクローズドセット（閉集合）たち$\{C_{\beta }\subseteq T_{\beta }\}$、ここで、$\{\beta \}\subseteq \{\alpha \}$、に対して、$\coprod _{\beta }{C}_{\beta }$は$T$上でクローズド（閉）である。

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2: 証明

$\coprod _{\beta }{C}_{\beta }=\coprod _{\beta }{T}_{\beta }\setminus U_{\beta }$、ここで、$U_{\beta }\subseteq T_{\beta }$は$T_{\beta }$上でオープン（開）。$\coprod _{\beta }(T_{\beta }\setminus U_{\beta })=\coprod _{\beta }{T}_{\beta }\setminus \coprod _{\beta }{U}_{\beta }$、任意のコンプリメント（補集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はセット（集合）全体たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）マイナス　当該サブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）であるという命題によって。$\coprod _{\beta }{C}_{\beta }=\coprod _{\alpha }{T}_{\alpha }\setminus \coprod _{\gamma \in \{\alpha \}\setminus \{\beta \}}{T}_{\gamma }\setminus \coprod _{\beta }{U}_{\beta }=\coprod _{\alpha }{T}_{\alpha }\setminus (\coprod _{\gamma \in \{\alpha \}\setminus \{\beta \}}{T}_{\gamma }\cup \coprod _{\beta }{U}_{\beta })$。$\coprod _{\gamma \in \{\alpha \}\setminus \{\beta \}}{T}_{\gamma }\cup \coprod _{\beta }{U}_{\beta }$はオープン（開）である。

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参考資料

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