セット（集合）の複数回分プロダクトのカーディナリティ（濃度）はセット（集合）のカーディナリティ（濃度）のその回数分積であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）のカーディナリティ（濃度）に対して、当該カーディナリティ（濃度）の任意の'ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗は当該カーディナリティ（濃度）の当該ナチュラルナンバー（自然数）回積であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）および任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、当該セット（集合）の当該数回分プロダクトのカーディナリティ（濃度）は当該セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の当該回数分積であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Card (S \times ... \times S) = Card S ... Card S\)、ここで、左辺は\(n\)回プロダクトであり右辺は\(n\)回積である
//
2: 注
任意のセット（集合）のカーディナリティ（濃度）に対して、当該カーディナリティ（濃度）の任意の'ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗は当該カーディナリティ（濃度）の当該ナチュラルナンバー（自然数）回積であるという命題によって、\(Card (S \times S \times . . . \times S) = (Card (S))^n\)が成立する、その右辺は本当には\(Card (S)\)の\(n\)回積であるとは定義されていない。
3: 証明
全体戦略: それをインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: それは\(n = 1\)に対して成立することを見る; ステップ2: それは\(n = n'\)、ここで、\(1 \le n'\)、に対して成立すると仮定し、それは\(n = n' + 1\)に対して成立することを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(n = 1\)に対して、\(Card (S) = Card (S)\)。
ステップ2:
\(n = n'\)、ここで、\(n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で\(1 \le n'\)は任意、に対して、\(Card (S \times ... \times S) = Card S ... Card S\)、ここで、左辺は\(n\)回プロダクトで右辺は\(n\)回積、と仮定しよう。
\(Card (S \times ... \times S \times S)\)、それは、\(n + 1\)回プロダクト、は、\(Card ((S \times ... \times S) \times S) = Card (S \times ... \times S) Card (S)\)である、カーディナリティ（濃度）のアリスメティック（代数）の定義によって。
\(= Card (S) ... Card (S) Card (S)\)、インダクションプリンシプル（帰納法）によって。
したがって、\(Card (S \times ... \times S \times S) = Card (S) ... Card (S) Card (S)\)、ここで、左辺は\(n + 1\)回プロダクトであり右辺は\(n + 1\)回積である。
ステップ3:
したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、任意のナチュラルナンバー（自然数）\(n\)に対して、\(Card (S \times ... \times S) = Card S ... Card S\)、ここで、左辺は\(n\)回プロダクトであり右辺は\(n\)回積である。
