255: セット（集合）の複数回分の積のカーディナリティ（濃度）はセット（集合）のカーディナリティ（濃度）のその回数分の積である

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セット（集合）の複数回分の積のカーディナリティ（濃度）はセット（集合）のカーディナリティ（濃度）のその回数分の積であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）の積の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）および任意の自然数に対して、当該セット（集合）の当該自然数回分の積のカーディナリティ（濃度）は当該セット（集合）のカーディナリティ（濃度）のその回数分の積であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）$S$および任意の自然数$n$に対して、$card(S\times S\times ...\times S)=cardScardS...cardS$、ここで、両側の積たちは$n$回分の積たちである。

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2: 証明

$n=1$に対して、$cardS=cardS$。

ある$n$に対して、$card(S\times S\times ...\times S)=cardScardS...cardS$、ここで、両側の積たちは$n$回分の積である、と仮定しよう。$card(S\times S\times ...\times S)$、ここで、積は$n+1$回分の積である、は$card((S\times S\times ...\times S)\times S)=card(S\times S\times ...\times S)cardS$、カーディナリティ（濃度）たちの算術の定義によって。$card(S\times S\times ...\times S)cardS=cardScardS...cardScardS$、仮定によって、したがって、$card(S\times S\times ...\times S)=cardScardS...cardS$、ここで、両側の積たちは$n+1$回分の積たちである。

したがって、数学的帰納法によって、任意の自然数$n$に対して、$card(S\times S\times ...\times S)=cardScardS...cardS$、ここで、両側の積たちは$n$回分の積たちである。

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3: 注

任意のセット（集合）のカーディナリティ（濃度）に対して、当該カーディナリティ（濃度）の任意の自然数乗は当該カーディナリティ（濃度）の当該自然数回分の積分であるという命題によって、$card(S\times S\times ...\times S)=(cardS{)}^n$が成立する、その右側は実際には$cardS$の$n$回分の積として定義されてはいない。

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参考資料

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