256: 自然数からカウンタブル（可算）セット（集合）へのファンクション（関数）たちセット（集合）はカウンタブル（可算）である

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自然数からカウンタブル（可算）セット（集合）へのファンクション（関数）たちセット（集合）はカウンタブル（可算）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、ファンクション（関数）の定義を知っている。
• 読者は、カウンタブル（可算）セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）たちの有限数プロダクトはカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）および任意の自然数に対して、当該自然数から当該セット（集合）への全てのファンクション（関数）たちのセット（集合）はカウンタブル（可算）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のカウンタブル（可算）セット（集合）$S$および任意の自然数$n$に対して、$n$から$S$への全てのファンクション（関数）たちのセット（集合）${}^{n}S$はカウンタブル（可算）である。

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2: 証明

任意の$f\in {}^{n}S$に対して、$f:n\to S$、ここで、$n=\{0,1,...,n-1\}$、セット（集合）理論によって。あるインジェクション（単射）$g:{}^{n}S\to S\times S\times ...\times S,f\mapsto ⟨f(0),f(1),...,f(n-1)⟩$がある。したがって、$card{}^{n}S\le card(S\times S\times ...\times S)$、しかし、$S\times S\times ...\times S$はカウンタブル（可算）である、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）たちの有限数プロダクトはカウンタブル（可算）であるという命題によって、したがって、${}^{n}S$はカウンタブル（可算）である。

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参考資料

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