自然数からカウンタブル（可算）セット（集合）へのファンクション（関数）たちセット（集合）はカウンタブル（可算）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、ファンクション（関数）の定義を知っている。
- 読者は、カウンタブル（可算）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）たちの有限数プロダクトはカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）および任意の自然数に対して、当該自然数から当該セット（集合）への全てのファンクション（関数）たちのセット（集合）はカウンタブル（可算）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のカウンタブル（可算）セット（集合）\(S\)および任意の自然数\(n\)に対して、\(n\)から\(S\)への全てのファンクション（関数）たちのセット（集合）\({}^nS\)はカウンタブル（可算）である。
2: 証明
任意の\(f \in {}^nS\)に対して、\(f: n \rightarrow S\)、ここで、\(n = \{0, 1, . . ., n - 1\}\)、セット（集合）理論によって。あるインジェクション（単射）\(g: {}^nS \rightarrow S \times S \times . . . \times S, f \mapsto \langle f (0), f (1), . . ., f (n - 1)\rangle\)がある。したがって、\(card {}^nS \leq card (S \times S \times . . . \times S)\)、しかし、\(S \times S \times . . . \times S\)はカウンタブル（可算）である、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）たちの有限数プロダクトはカウンタブル（可算）であるという命題によって、したがって、\({}^nS\)はカウンタブル（可算）である。
