セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の'ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）'乗はカーディナリティ（濃度）の当該数回積であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）のカーディナリティ（濃度）に対して、当該カーディナリティ（濃度）の任意の'ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗は当該カーディナリティ（濃度）の当該ナチュラルナンバー（自然数）回積であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((Card (S))^n = Card (S) ... Card (S)\)、それは、\(n\)回積
//
2: 注
本命題はそれほど明らかなものではない、なぜなら、\((Card (S))^n\)は、\(n\)回積として定義されてはおらず、\(\{f \in Pow (n \times S) \vert f: n \to S\}\)のカーディナリティ（濃度）として定義されている。
本命題がゆえに、\((Card (S))^n\)は、\(n\)回積とみなすことができるようになる。
3: 証明
全体戦略: それをインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: それは\(n = 1\)に対して成立することを見る; ステップ2: それは\(n = n'\)、ここで、\(1 \le n'\)、に対して成立すると仮定し、それは\(n = n' + 1\)に対して成立ことを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(n = 1\)に対して、\((Card (S))^n = Card (S)\)、なぜなら、それは、ファンクション（関数）たちのセット（集合）\(F:= \{f \in Pow (1 \times S) \vert f: 1 \to S\}\)、ここで、\(1 = \{0\}\)、のカーディナリティ（濃度）である。
ステップ2:
\(n = n'\)、ここで、\(n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で\(1 \le n'\)は任意、に対して、\((Card (S))^n = Card (S) ... Card (S)\)、それは、\(n\)回積、であると仮定しよう。
\((Card (S))^{n + 1}\)は、ファンクション（関数）たちのセット（集合）\(F:= \{f \in Pow ((n + 1) \times S) \vert f: (n + 1) \to S\}\)のカーディナリティ（濃度）である。
任意の\(f \in F\)は、\(f = f' \cup \{\langle n + 1, s \rangle\}\)、ここで、\(f'\)は任意の\(f' \in F':= \{f' \in Pow (n \times S) \vert f': n \to S\}\)で\(s\)は任意の\(s \in S\)、である。
他方で、\((Card (S))^n Card (S) = Card (F') Card (S) = Card (F' \times S)\)、カーディナリティ（濃度）たちのアリスメティック（代数）の定義によって。
\(F' \times S\)の任意の要素は、\(\langle f', s \rangle\)、ここで、\(f'\)は任意の\(f' \in F'\)で\(s\)は任意の\(s \in S\)、である。
バイジェクション（全単射）\(g: F \to F' \times S, f' \cup \{\langle n + 1, s \rangle\} \mapsto \langle f', s \rangle\)がある、したがって、\((Card (S))^{n + 1} = Card (F) = Card (F' \times S) = Card (F') Card (S) = Card (S) ... Card (S)\)、それは、\(n + 1\)回積である。
ステップ3:
したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、任意のナチュラルナンバー（自然数）\(n\)に対して、\((Card (S))^n = Card (S) ... Card (S)\)、それは、\(n\)回積、である。
