254: セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の自然数乗はカーディナリティ（濃度）のその回数分の積である

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セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の自然数乗はカーディナリティ（濃度）のその回数分の積であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）のカーディナリティ（濃度）に対して、当該カーディナリティ（濃度）の任意の自然数乗は当該カーディナリティ（濃度）の当該自然数回分の積分であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）$S$および任意の自然数$n$に対して、$(cardS{)}^n=cardScardS...cardS$、それは、$n$回分の積分である。

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2: 証明

$n=1$に対して、$(cardS{)}^n=cardS$、なぜなら、それはファンクション（関数）たちのセット（集合）$F:=\{f\in Pow(1\times S)|f:1\to S\}$、ここで、$1=\{0\}$、のカーディナリティ（濃度）だから。

ある$n$に対して、$(cardS{)}^n=cardScardS...cardS$、それは、$n$回分の積である、であると仮定しよう。$(cardS{)}^{n+1}$はファンクション（関数）たちのセット（集合）$F:=\{f\in Pow((n+1)\times S)|f:(n+1)\to S\}$のカーディナリティ（濃度）である。任意の$f=f^{\prime }\cup \{⟨n,s⟩\}$、ここで、$f^{\prime }$は任意の$f^{\prime }\in F^{\prime }:=\{f^{\prime }\in Pow(n\times S)|f^{\prime }:n\to S\}$であり、$s$は任意の$s\in S$である。他方では、$(cardS{)}^{n}cardS=card{F}^{\prime }cardS=card(F^{\prime }\times S)$、カーディナリティ（濃度）たちの算術の定義によって。$F^{\prime }\times S$の任意の要素は$⟨f^{\prime },s⟩$、ここで、$f^{\prime }$は任意の$f^{\prime }\in F^{\prime }$であり、$s$は任意の$s\in S$である。バイジェクション（全単射）$g:F\to F^{\prime }\times S,f^{\prime }\cup \{⟨n,s⟩\}\mapsto ⟨f^{\prime },s⟩$がある、したがって、$cardF=card(F^{\prime }\times S)=card{F}^{\prime }cardS=cardScardS...cardS$、それは$n+1$回分の積である。

したがって、数学的帰納法によって、任意の自然数$n$に対して、$(cardS{)}^n=cardScardS...cardS$、それは、$n$回分の積である。

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3: 注

当命題はそれほど明白ではない、なぜなら、$(cardS{)}^n$は$n$回分積としてではなく、$\{f\in Pow(n\times S)|f:n\to S\}$のカーディナリティ（濃度）として定義されているから。

本命題が故にのみ、$(cardS{)}^n$は$n$回分の積とみなすことができる。

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参考資料

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