251: 1つの非0カーディナリティを持つセット（集合）たちのコレクションはセット（集合）ではない

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1つの非0カーディナリティを持つセット（集合）たちのコレクションはセット（集合）ではないことの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、カーディナル数の定義を知っている。
• 読者は、全てのセット（集合）たちを包含するセット（集合）はないという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の非0カーディナル番号に対して、当該カーディナリティを持つセット（集合）たちのコレクションはセット（集合）ではないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の非0カーディナル番号$c$に対して、セット（集合）たちのコレクション$C=\{S|cardS=c\}$、ここで$cardS$$S$のカーディナル数、はセット（集合）ではない。

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2: 証明

$C$はセット（集合）だったと仮定する。任意のセット（集合）$S^{\prime }$に対して、ある$S\in C$に対して$S^{\prime }\in S$、なぜなら、任意の$S\in C$に対して、もしも、$S^{\prime }\notin S$、あるセット（集合）$S^{″}\in S$があることになる、なぜなら、$0<cardS$、そして、新たなセット（集合）$S^{‴}=(S\setminus \{S^{″}\})\cup \{S^{\prime }\}$は当該カーディナリティ$c$のセット（集合）である、ペアリング公理、サブセット（部分集合）公理、ユニオン（和集合）公理によって。ユニオン（和集合）公理によって、$\cup C$、それは、${\cup }_{S\in C}S$を意味する、はセット（集合）だということになる、しかし、それは全てのセット（集合）たちを含む、それはセット（集合）ではない、全てのセット（集合）たちを包含するセット（集合）はないという命題によって、矛盾。

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参考資料

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