1つの非0カーディナリティを持つセット（集合）たちのコレクションはセット（集合）ではないことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、カーディナル数の定義を知っている。
- 読者は、全てのセット（集合）たちを包含するセット（集合）はないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の非0カーディナル番号に対して、当該カーディナリティを持つセット（集合）たちのコレクションはセット（集合）ではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の非0カーディナル番号\(c\)に対して、セット（集合）たちのコレクション\(C = \{S\vert card S = c\}\)、ここで\(card S\)\(S\)のカーディナル数、はセット（集合）ではない。
2: 証明
\(C\)はセット（集合）だったと仮定する。任意のセット（集合）\(S'\)に対して、ある\(S \in C\)に対して\(S' \in S\)、なぜなら、任意の\(S \in C\)に対して、もしも、\(S' \notin S\)、あるセット（集合）\(S'' \in S\)があることになる、なぜなら、\(0 \lt card S\)、そして、新たなセット（集合）\(S''' = (S \setminus \{S''\}) \cup \{S'\}\)は当該カーディナリティ\(c\)のセット（集合）である、ペアリング公理、サブセット（部分集合）公理、ユニオン（和集合）公理によって。ユニオン（和集合）公理によって、\(\cup C\)、それは、\(\cup_{S \in C} S\)を意味する、はセット（集合）だということになる、しかし、それは全てのセット（集合）たちを含む、それはセット（集合）ではない、全てのセット（集合）たちを包含するセット（集合）はないという命題によって、矛盾。
