252: セット（集合）たちのプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）である

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セット（集合）たちのプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）たちのプロダクトの定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）たちのネストされたプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2,S_3$に対して、ネストされたプロダクト$(S_1\times S_2)\times S_3$は$S_1\times (S_2\times S_3)$へ'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。

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2: 証明

$(S_1\times S_2)\times S_3=\{s|\mathrm{\exists }{s}_1\in S_1,\mathrm{\exists }{s}_2\in S_2,\mathrm{\exists }{s}_3\in S_3,s=⟨⟨s_1,s_2⟩,s_3⟩\}$は明らかに、厳密に$S_1\times (S_2\times S_3)=\{s|\mathrm{\exists }{s}_1\in S_1,\mathrm{\exists }{s}_2\in S_2,\mathrm{\exists }{s}_3\in S_3,s=⟨s_1,⟨s_2,s_3⟩⟩\}$ではない、しかし、$f:(S_1\times S_2)\times S_3\to S_1\times (S_2\times S_3),⟨⟨s_1,s_2⟩,s_3⟩\mapsto ⟨s_1,⟨s_2,s_3⟩⟩$はバイジェクション（全単射）である。

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3: 注

"$(S_1\times S_2)\times S_3=S_1\times (S_2\times S_3)$"のようなずさんな表現が広く見られるが、それら2は同一ではなく、互いに'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。

表現$S_1\times S_2\times S_3$が許されるのは、それは$(S_1\times S_2)\times S_3$として定義されているからであり、"$(S_1\times S_2)\times S_3=S_1\times (S_2\times S_3)$"が成立するからではない。

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参考資料

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