セット（集合）たちのプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）たちのプロダクトの定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）たちのネストされたプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2, S_3\)に対して、ネストされたプロダクト\((S_1 \times S_2) \times S_3\)は\(S_1 \times (S_2 \times S_3)\)へ'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。
2: 証明
\((S_1 \times S_2) \times S_3 = \{s\vert \exists s_1 \in S_1, \exists s_2 \in S_2, \exists s_3 \in S_3, s = \langle\langle s_1, s_2 \rangle, s_3 \rangle\}\)は明らかに、厳密に\(S_1 \times (S_2 \times S_3) = \{s\vert \exists s_1 \in S_1, \exists s_2 \in S_2, \exists s_3 \in S_3, s = \langle s_1, \langle s_2, s_3 \rangle \rangle\}\)ではない、しかし、\(f: (S_1 \times S_2) \times S_3 \rightarrow S_1 \times (S_2 \times S_3), \langle \langle s_1, s_2 \rangle, s_3 \rangle \mapsto \langle s_1, \langle s_2, s_3 \rangle \rangle\)はバイジェクション（全単射）である。
3: 注
"\((S_1 \times S_2) \times S_3 = S_1 \times (S_2 \times S_3)\)"のようなずさんな表現が広く見られるが、それら2は同一ではなく、互いに'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。
表現\(S_1 \times S_2 \times S_3\)が許されるのは、それは\((S_1 \times S_2) \times S_3\)として定義されているからであり、"\((S_1 \times S_2) \times S_3 = S_1 \times (S_2 \times S_3)\)"が成立するからではない。
