2つのセット（集合）たちに対して、セット（集合）たち間のファンクション（関数）たちのコレクションはセット（集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、ファンクション（関数）の定義を知っている。
- 読者は、任意の有限数のセット（集合）たちのプロダクトはセット（集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、いくつかの表現はZFCセット（集合）理論の正当なフォーミュラの部分になれるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つのセット（集合）たちに対して、それらセット（集合）たち間の全てのファンクション（関数）たちのコレクションはセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)に対して、\(S_1\)から\(S_2\)への全てのファンクション（関数）たちのコレクション\({}^{S_1} S_2 = \{f \in Pow (S_1 \times S_2)\vert f: S_1 \rightarrow S_2\}\)はセット（集合）である。
2: 証明
\({}^{S_1} S_2 = \{f \in Pow (S_1 \times S_2)\vert (\forall s_1 \in S_1, \exists s_2 \in S_2, \langle s_1, s_2 \rangle \in f) \land ((\exists s_1 \in S_1, \exists s_2 \in S_2, \exists {s_2}' \in S_2, \langle s_1, s_2 \rangle \in f \land \langle s_1, {s_2}' \rangle \in f) \implies (s_2 = {s_2}'))\}\)。任意の有限数のセット（集合）たちのプロダクトはセット（集合）であるという命題によって、\(S_1 \times S_2\)はセット（集合）である。パワーセット（集合）公理によって、\(Pow (S_1 \times S_2)\)はセット（集合）である。いくつかの表現はZFCセット（集合）理論の正当なフォーミュラの部分になれるという命題によって、サブセット（部分集合）公理を適用できる。したがって、\({}^{S_1} S_2\)はセット（集合）である。
