263: 2つのセット（集合）たちに対して、セット（集合）たち間のファンクション（関数）たちのコレクションはセット（集合）である

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2つのセット（集合）たちに対して、セット（集合）たち間のファンクション（関数）たちのコレクションはセット（集合）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、ファンクション（関数）の定義を知っている。
• 読者は、任意の有限数のセット（集合）たちのプロダクトはセット（集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、いくつかの表現はZFCセット（集合）理論の正当なフォーミュラの部分になれるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2つのセット（集合）たちに対して、それらセット（集合）たち間の全てのファンクション（関数）たちのコレクションはセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$に対して、$S_1$から$S_2$への全てのファンクション（関数）たちのコレクション${}^{S_1}{S}_2=\{f\in Pow(S_1\times S_2)|f:S_1\to S_2\}$はセット（集合）である。

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2: 証明

${}^{S_1}{S}_2=\{f\in Pow(S_1\times S_2)|(\mathrm{\forall }{s}_1\in S_1,\mathrm{\exists }{s}_2\in S_2,⟨s_1,s_2⟩\in f)\wedge ((\mathrm{\exists }{s}_1\in S_1,\mathrm{\exists }{s}_2\in S_2,\mathrm{\exists }{s_2}^{\prime }\in S_2,⟨s_1,s_2⟩\in f\wedge ⟨s_1,{s_2}^{\prime }⟩\in f)⟹(s_2={s_2}^{\prime }))\}$。任意の有限数のセット（集合）たちのプロダクトはセット（集合）であるという命題によって、$S_1\times S_2$はセット（集合）である。パワーセット（集合）公理によって、$Pow(S_1\times S_2)$はセット（集合）である。いくつかの表現はZFCセット（集合）理論の正当なフォーミュラの部分になれるという命題によって、サブセット（部分集合）公理を適用できる。したがって、${}^{S_1}{S}_2$はセット（集合）である。

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参考資料

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