セット（集合）たちのファイナイト（有限）プロダクトはセット（集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、ZFCセット（集合）理論のために、いくつかの表現たちは妥当なフォーミュラたちのパーツたちになれるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数のセット（集合）たちのプロダクトはセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2, . . ., S_n\)に対して、それらセット（集合）たちのプロダクト\(S_1 \times S_2 \times . . . \times S_n\)はセット（集合）である。
2: 証明
第一に、\(n = 2\)であるケースを考えよう。実のところ、\(S_1 \times S_2 = \{s \in Pow (Pow (S_1 \cup S_2))\vert \exists s_1 \in S_1, \exists s_2 \in S_2, s = \langle s_1, s_2 \rangle\}\)、なぜなら、\(s_i \in S_1 \cup S_2, \{s_1\} \subseteq S_1 \cup S_2、\text{したがって}、\{s_1\} \in Pow (S_1 \cup S_2)、\{s_1, s_2\} \subseteq S_1 \cup S_2、\text{したがって}、\{s_1, s_2\} \in Pow (S_1 \cup S_2)、\{ \{s_1\}, \{s_1, s_2\}\} = \langle s_1, s_2 \rangle \subseteq Pow (S_1 \cup S_2)、\text{したがって}、\langle s_1, s_2 \rangle \in Pow (Pow (S_1 \cup S_2))\)。サブセット（部分集合）公理およびいくつかの表現はZFCセット（集合）理論の正当なフォーミュラの部分になれるという命題によって、\(S_1 \times S_2\)はセット（集合）である。
\(S_1 \times S_2, \times . . . \times S_n\)は本当のところ\(( . . . (S_1 \times S_2) \times . . .) \times S_n\)である。\(S_1 \times S_2\)はセット（集合）であるから、\((S_1 \times S_2) \times S_3\)はセット（集合）である; \((S_1 \times S_2) \times S_3\)はセット（集合）であるから、\(((S_1 \times S_2) \times S_3) \times S_4\)はセット（集合）である; . . .; \(( . . . (S_1 \times S_2) \times . . .) \times S_{n - 1}\)はセット（集合）であるから、\(( . . . (S_1 \times S_2) \times . . .) \times S_n\)はセット（集合）である。勿論、厳密にするには、数学的帰納法を使わなければならない。
