262: セット（集合）たちのファイナイト（有限）プロダクトはセット（集合）である

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セット（集合）たちのファイナイト（有限）プロダクトはセット（集合）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、ZFCセット（集合）理論のために、いくつかの表現たちは妥当なフォーミュラたちのパーツたちになれるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）数のセット（集合）たちのプロダクトはセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2,...,S_n$に対して、それらセット（集合）たちのプロダクト$S_1\times S_2\times ...\times S_n$はセット（集合）である。

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2: 証明

第一に、$n=2$であるケースを考えよう。実のところ、$S_1\times S_2=\{s\in Pow(Pow(S_1\cup S_2))|\mathrm{\exists }{s}_1\in S_1,\mathrm{\exists }{s}_2\in S_2,s=⟨s_1,s_2⟩\}$、なぜなら、$s_i\in S_1\cup S_2,\{s_1\}\subseteq S_1\cup S_2、\text{したがって}、\{s_1\}\in Pow(S_1\cup S_2)、\{s_1,s_2\}\subseteq S_1\cup S_2、\text{したがって}、\{s_1,s_2\}\in Pow(S_1\cup S_2)、\{\{s_1\},\{s_1,s_2\}\}=⟨s_1,s_2⟩\subseteq Pow(S_1\cup S_2)、\text{したがって}、⟨s_1,s_2⟩\in Pow(Pow(S_1\cup S_2))$。サブセット（部分集合）公理およびいくつかの表現はZFCセット（集合）理論の正当なフォーミュラの部分になれるという命題によって、$S_1\times S_2$はセット（集合）である。

$S_1\times S_2,\times ...\times S_n$は本当のところ$(...(S_1\times S_2)\times ...)\times S_n$である。$S_1\times S_2$はセット（集合）であるから、$(S_1\times S_2)\times S_3$はセット（集合）である; $(S_1\times S_2)\times S_3$はセット（集合）であるから、$((S_1\times S_2)\times S_3)\times S_4$はセット（集合）である; . . .; $(...(S_1\times S_2)\times ...)\times S_{n-1}$はセット（集合）であるから、$(...(S_1\times S_2)\times ...)\times S_n$はセット（集合）である。勿論、厳密にするには、数学的帰納法を使わなければならない。

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参考資料

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