トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理に対して、フォーミュラの部分的指定で十分であるいくつかの条件の記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、ファンクション（関数）の定義を知っている。
- 読者は、トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理を認めている。
- 読者は、任意のウェルオーダードセット（整列集合）の任意のサブセット（部分集合）はオーダリング（順序）の制限の元にウェルオーダードである（整列されている）という命題を認めている。
- 読者は、トランスファイナイト（超限）帰納法を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理に対して、フォーミュラの部分的指定で十分であるいくつかの条件の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 注1
トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理に対して、あるウェルオーダードセット（整列集合）\(S\)の任意のサブセット（部分集合）からの任意のファンクション（関数）に対してユニークな\(v\)を決定するあるフォーミュラ\(\gamma (f, v)\)が要求される（あるテキストブックで私が見たあるバージョンでは、\(\gamma\)は任意のファンクション（関数）\(f\)を取ることができなければならないようになっているが、'\(S\)の任意のサブセット（部分集合）からの任意のファンクション（関数）'で十分なはずだ、なぜなら、ターゲットファンクション（関数）\(f'\)は以下を満たす\(f': S \rightarrow S'\)、ここで、\(S'\)は未知、つまり、\(\gamma (f'\vert_{seg \text{ }s}, f' (s))\)、であって、\(S\)の何らのサブセット（部分集合）からでもないファンクション（関数）たちに対する指定はどうでもよいはずだから）。そこで注目すべきだが、\(S'\)は事前に決定されていないので、\(\gamma\)は\(S\)の任意のサブセット（部分集合）から任意のセット（集合）の中へマップする任意の\(f\)を取り扱わなければならない、なぜなら、\(f'\)がどの中へマップするからは私たちは知らないから。
しかし、問題は、そのテキストブックは当該定理を、\(\gamma\)の一部のみ、具体的には、事前に決められた\(S''\)へのファンクション（関数）たちのみに関する部分だけ、を指定して使い始め、ターゲットファンクション（関数）\(f'\)は\(S''\)の中へのファンクション（関数）だと結論づけることだ、. . .、それはオーケーなのか？私が意味するのは、\(S'''\)、\(S''''\)、等の中へのファンクション（関数）たちに対する隠された指定があるはずなのに、なぜ、\(f'\)は\(S''\)の中へのファンクション（関数）であると保証されるのか、ただ単に著者がその特定の部分のみを挙げたというだけの理由によって？. . .それは、その特定部分が、当該部分だけが結果を左右することを保証するある条件を満たしているからに違いない。
直感的に言えば、もしも、当該部分が、ドメイン（定義域）が空集合であるファンクション（関数）を\(S''\)の中へマップするのであれば、\(m\)が\(S\)の最小要素であるときの\(f' (m)\)は\(S''\)の中にある、なぜなら、\(\gamma (f'\vert_{seg \text{ }m} = f'\vert_\emptyset, f' (m))\)だから、そして、任意のそれより大きい\(s\)に対する\(f' (s)\)は\(S''\)の中にあり続けそうだ、\(\gamma (f'\vert_{seg \text{ }s}, f' (s))\)が故に、なぜなら、次に最小の要素\(s'\)は\(\gamma (f'\vert_{seg \text{ }s'} = f'\vert_{\{m\}}, f' (s'))\)を満たすが、\(f'\vert_{\{m\}}\)は\(S''\)の中へのものである、唯一の値は\(f' (m) \in S''\)だから、等々と続く、しかし、勿論、それは厳密な証明ではない。
2: 記述1
トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理に対して、もしも、フォーミュラ\(\gamma\)に対する指定のある部分が ウェルオーダードセット（整列集合）\(S\)の任意のサブセット（部分集合）をある事前に決められたセット（集合）\(S''\)の中へマップする全てのファンクション（関数）たちおよび空集合からのファンクション（関数）（不可避に、空集合の中への）、それは実のところ空集合である、を含んでおり、\(\gamma\)が、空集合からのファンクション（関数）を\(S''\)の中へマップすれば、\(\gamma\)の指定としてその部分のみが結果を左右し、ターゲットファンクション（空間）\(f'\)は\(S''\)の中へマップする。
3: 証明1
トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理のある証明の中で、\(f'\)は近似ファンクション（関数）たちのユニオン（和集合）であるが、各近似ファンクション（関数）は、以下を満たす、\(S\)のあるサブセット（部分集合）\(T := \{s \in S\vert s \leq t\}\)から任意のサブセット（部分集合）の中へのファンクション（関数）\(f_t\)、つまり、任意の\(s \le t\)に対して、\(\gamma (f_t\vert_{seg \text{ }s}, f_t (s))\)、である。したがって、もしも、各\(f_t\)が\(S''\)の中へのものであれば、\(f'\)は\(S''\)の中へのものになるだろう。
\(T\)は自然にウェルオーダードセット（整列集合）である、任意のウェルオーダードセット（整列集合）の任意のサブセット（部分集合）はオーダリング（順序）の制限の元にウェルオーダードである（整列されている）という命題によって。\(T\)のサブセット（部分集合）\(T' := \{s \in T\vert f_t (s) \in S''\}\)を定義しよう。\(T' = T\)、それが意味するのは、\(f_t\)は\(S''\)の中へのものであるということ、を証明することを目指す、トランスファイナイト（超限）帰納法によって。
以下を満たす任意の\(s\)、つまり、\(seg \text{ }s \subseteq T'\)、に対して、\(s \in T'\)？\(f_t (seg \text{ }s) \subseteq S''\)であるから、\(f_t\vert_{seg \text{ }s}\)は\(S''\)の中へのファンクション（関数）である、そして、それは指定の当該部分に含まれている、そして、\(f_t (s)\)は\(S''\)の中にいる、\(\gamma (f_t\vert_{seg \text{ }s}, f_t (s))\)によって。したがって、\(s \in T'\)。したがって、トランスファイナイト（超限）帰納法によって、\(T' = T\)。
指定の当該部分のみが結果を左右する、なぜなら、任意の\(f_t\vert_{seg \text{ }s}\)は\(S''\)の中へのファンクション（関数）であり、指定の残りの部分は任意の\(f_t\)が近似ファンクション（関数）であるか否かに何らの役割も演じないから。
4: 注2
したがって、当該特定部分が（ある\(S'''\)の中へのファンクション（関数）たちを含む別の隠された部分がではなく）\(f'\)を決定するが、その理由は、当該部分が空集合からのファンクション（関数）（それは別の部分に同時に含まれることはできない、なぜなら、当該ファンクション（関数）は単一ファンクション（関数）だから）を含んでいることである。
