259: セット（集合）の各要素をセット（集合）の中にユニークにマップするフォーミュラはファンクション（関数）を構成する

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セット（集合）の各要素をセット（集合）の中にユニークにマップするフォーミュラはファンクション（関数）を構成することの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 注
• 2: 記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）の各要素を別のセット（集合）の中へユニークにマップする任意のフォーミュラはファンクション（関数）を構成するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 注

本命題は明らかに思えるかもしれないが、その動機は、当該マップ（写像）は、ファンクション（関数）と呼ばれるにはセット（関数）であると証明されなければならない、ZFCセット（集合）理論においては、ということ。当該プロダクトセット（集合）の一部であることは十分ではない、なぜなら、サブセット（部分集合）公理は正当なフォーミュラを要求するから。したがって、フォーミュラが求められる: 各要素がイメージ（像）になんらかの形でユニークにマップすると知っているというだけでは十分ではない。

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2: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$および以下を満たす任意のフォーミュラ$\varphi (s_1,s_2,...)$、ここで、$s_1\in S_1$および$s_2\in S_2$、つまり、それは$S_1$の各要素を$S_2$のある要素へユニークにマップする、に対して、$f:S_1\to S_2,s_1\mapsto s_2\text{ if and only if }\varphi (s_1,s_2,...)$はファンクション（関数）である。

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3: 証明

$f\subseteq S_1\times S_2$、しかし、$f$をサブセット（部分集合）公理によってセット（集合）であると断定するには、正当なフォーミュラが必要である。$f=\{p\in S_1\times S_2|\mathrm{\exists }{s}_1\in S_1,\mathrm{\exists }{s}_2\in S_2,\varphi (s_1,s_2,...),p=⟨s_1,s_2⟩\}$。各$s_1\in S_1$に対して、ユニークな要素$p=⟨s_1,s_2⟩\in f$がある、$\varphi$に対する仮定によって。したがって、$f$はファンクション（関数）である。

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参考資料

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