累乗たちの順序の記述/証明
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この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、累乗の定義を知っている。
- 読者は、\(e\)の指数への累乗は指数に関して単調に増加するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の正基底の指数への累乗は、基底が\(1\)より大きいか\(1\)より小さい場合、指数に関して単調にそれぞれ増加または減少する; 正基底の任意の指数への累乗は、指数が\(0\)より大きいか\(0\)より小さい場合、基底に関して単調にそれぞれ増加または減少するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述1
任意の正実数\(r\)および任意の実数\(x\)に対して、\(1 \lt r\)か\(r \lt 1\)の場合、\(r^x\)は\(x\)に関して単調にそれぞれ増加または減少する。
2: 証明1
\(e^x\)は\(x\)に関して単調に増加するということを認めよう。\(r^x = (e^{ln r})^x = e^{x ln r}\)。\(1 \lt r\)である場合、\(0 \lt ln r\)、したがって、\(x ln r\)は\(x\)が増加する時単調に増加する。\(r \lt 1\)である場合、\(ln r \lt 0\)、したがって、\(x ln r\)は\(x\)が増加する時単調に減少する。
3: 記述2
任意の実数\(r\)および任意の正実数\(x\)に対して、\(0 \lt r\)か\(r \lt 0\)である場合、\(x^r\)は\(x\)に関して単調にそれぞれ増加または減少する。
4: 証明2
\(e^x\)は\(x\)に関して単調に増加するということを認めよう。\(x^r = (e^{ln x})^r = e^{r ln x}\)。\(0 \lt r\)である場合、\(r ln x\)は\(x\)が増加する時単調に増加する。\(r \lt 0\)である場合、\(r ln x\)は\(x\)が増加する時単調に減少する。
