セット（集合）の部分はサブセット（部分集合）である、もしも、セット（集合）の各要素が部分の中にあるか外にあるかを決定するフォーミュラがある場合、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）の任意の部分はサブセット（部分集合）である、もしも、当該セット（集合）の各要素が当該部分の中にあるか外にあるを決定するフォーミュラがある場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 注
本命題の動機は、ZFCセット（集合）理論のサブセット（部分集合）公理は、サブセット（部分集合）は正当なフォーミュラをもって定義されることを要求するので、当該公理は、正当なフォーミュラを示せない限り、あるセット（集合）のある部分がセット（集合）（サブセット（部分集合））であることを保証しない、もしも、各要素が当該部分の中にあるか外にあるか曖昧さなしに決定されるとしても、ということ。
2: 記述
任意のセット（集合）\(S\)および以下を満たす任意のフォーミュラ\(\phi\)、つまり、各\(p \in S\)に対して、排他的に\(\phi (p, 0)\)または\(\phi (p, 1)\)、に対して、\(S\)の部分\(S_1:= \{p \in S\vert \phi (p, 1)\}\)はセット（集合）である。
3: 証明
それは、サブセット（部分集合）公理そのものである。
