部分的オーダリング（順序）を持ち最小要素を持たない空でないセット（集合）に対して、自然数たちセット（集合）からセット（集合）へのファンクション（関数）で、数のイメージ（像）は次の数のイメージ（像）より大きいというものがあることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、部分的オーダリング（順序）の定義を知っている。
- 読者は、部分的オーダリング（順序）に対する最小要素の定義を知っている。
- 読者は、自然数たちセット（集合）に対するリカージョン（反復）定理を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の部分的オーダリング（順序）を持ち最小要素を持たない任意の空でないセット（集合）に対して、自然数たちセット（集合）から当該セット（集合）へのファンクション（関数）で、任意の数のイメージ（像）は次の数のイメージ（像）より大きいというものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）\(S\)で、任意の部分的オーダリング（順序）\(\lt\)を持ち、最小要素を持たないもの、それが意味するのは、任意の要素\(p \in S\)に対して、\(p' \lt p\)を満たすある要素\(p' \in S\)がある、に対して、以下を満たすあるファンクション（関数）\(f: \omega \rightarrow S\)、ここで、\(\omega\)は自然数たちセット（集合）、つまり、任意の\(n \in \omega\)に対して\(f (n + 1) \lt f (n)\)、がある。
2: 証明
ファンクション（関数）\(g: S \rightarrow Pow S, p \mapsto \{p' \in S\vert p' \lt p\} \neq \emptyset\)がある。チョイス（選択）公理2)によって、あるファンクション（関数）\(h: S \rightarrow S, h (p) \in g (p)\)がある。任意の\(p_0 \in S\)を取ろう。自然数たちセット（集合）に対するリカージョン（反復）定理によって、あるファンクション（関数）\(f: \omega \rightarrow S, f (0) = p_0, f (n + 1) = h (f (n))\)がある。すると、\(h (f (n)) \in g (f (n))\)、したがって、\(h (f (n)) = f (n + 1) \lt f (n)\)。
