257: 部分的オーダリング（順序）を持ち最小要素を持たない空でないセット（集合）に対して、自然数たちセット（集合）からセット（集合）へのファンクション（関数）で、数のイメージ（像）は次の数のイメージ（像）より大きいというものがある

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部分的オーダリング（順序）を持ち最小要素を持たない空でないセット（集合）に対して、自然数たちセット（集合）からセット（集合）へのファンクション（関数）で、数のイメージ（像）は次の数のイメージ（像）より大きいというものがあることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、部分的オーダリング（順序）の定義を知っている。
• 読者は、部分的オーダリング（順序）に対する最小要素の定義を知っている。
• 読者は、自然数たちセット（集合）に対するリカージョン（反復）定理を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の部分的オーダリング（順序）を持ち最小要素を持たない任意の空でないセット（集合）に対して、自然数たちセット（集合）から当該セット（集合）へのファンクション（関数）で、任意の数のイメージ（像）は次の数のイメージ（像）より大きいというものがあるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）$S$で、任意の部分的オーダリング（順序）$<$を持ち、最小要素を持たないもの、それが意味するのは、任意の要素$p\in S$に対して、$p^{\prime }<p$を満たすある要素$p^{\prime }\in S$がある、に対して、以下を満たすあるファンクション（関数）$f:\omega \to S$、ここで、$\omega$は自然数たちセット（集合）、つまり、任意の$n\in \omega$に対して$f(n+1)<f(n)$、がある。

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2: 証明

ファンクション（関数）$g:S\to PowS,p\mapsto \{p^{\prime }\in S|p^{\prime }<p\}\ne \mathrm{\varnothing }$がある。チョイス（選択）公理2)によって、あるファンクション（関数）$h:S\to S,h(p)\in g(p)$がある。任意の$p_0\in S$を取ろう。自然数たちセット（集合）に対するリカージョン（反復）定理によって、あるファンクション（関数）$f:\omega \to S,f(0)=p_0,f(n+1)=h(f(n))$がある。すると、$h(f(n))\in g(f(n))$、したがって、$h(f(n))=f(n+1)<f(n)$。

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参考資料

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