トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、それらは\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、ポイントおよびポイントイメージ（像）の周りにマニフォールド（多様体）たちのチャートたちおよびチャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのリストリクテッド（制限された）コーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ポイントにおいてコンティヌアス（連続）なマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\)
\(p\): \(\in T_1\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists M_1, M_2 \in \{\text{ 全ての} C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\} (T_1 \subseteq M_1 \land T_1 \in \{M_1\text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\} \land T_2 \subseteq M_2 \land T_2 \in \{M_2\text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\})\)
\(\land\)
\(\exists (U'_p \subseteq M_1, \phi'_p) \in \{p\text{ の周りの全てのチャートたち }\} \land \exists (U'_{f (p)} \subseteq M_2, \phi'_{f (p)}) \in \{f (p)\text{ の周りの全てのチャートたち }\} \land \exists f': U'_p \to U'_{f (p)} (f' \vert_{U'_p \cap T_1} = f \vert_{U'_p \cap T_1} \land \phi'_{f (p)} \circ f' \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap T_1)}: \phi'_p (U'_p \cap T_1) \to \phi'_{f (p)} (U'_{f (p)}) \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\})\)
)
\(\implies\)
\(f \in \{p\text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のマップ（写像）\(f: T_1 \to T_2\)、任意のポイント\(p \in T_1\)に対して、\(f\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）である、もしも、\(T_j\)はある\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M_j\)のサブスペース（部分空間）であり、\(p\)の周りのあるチャート\((U'_p \subseteq M_1, \phi'_p)\)および\(f (p)\)の周りのあるチャート\((U'_{f (p)} \subseteq M_2, \phi'_{f (p)})\)、以下を満たすあるマップ（写像）\(f': U'_p \to U'_{f (p)}\)、つまり、\(f'\vert_{U'_p \cap T_1} = f\vert_{U'_p \cap T_1}\)、があり、リストリクテッド（制限された）コーディネート（座標）たちファンクション（関数）\(\phi'_{f (p)} \circ f' \circ {\phi'_p}^{-1}\vert_{\phi'_p (U'_p \cap T_1)}: \phi'_p (U'_p \cap T_1) \to \phi'_{f (p)} (U'_{f (p)})\)がコンティニュアス（連続）である場合。
3: 証明
\(\phi'_{f (p)} \circ f' \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap T_1)}\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(f' \vert_{U'_p \cap T_1}: U'_p \cap T_1 \to U'_{f (p)} = {\phi'_{f (p)}}^{-1} \circ \phi'_{f (p)} \circ f' \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap T_1)} \circ \phi'_p \vert_{U'_p \cap T_1}\)はコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）としてコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(\phi'_p \vert_{U'_p \cap T_1}: U'_p \cap T_1 \to \phi'_p (U'_p \cap T_1)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
それが意味するのは、\(f \vert_{U'_p \cap T_1} = f' \vert_{U'_p \cap T_1}: U'_p \cap T_1 \to U'_{f (p)}\)はコンティニュアス（連続）であるということ、そして、\(f \vert_{U'_p \cap T_1}: U'_p \cap T_1 \to M_2\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(f (p)\)の周りの任意のオープンサブセット（開部分集合）\(V_{f (p)} \subseteq T_2\)に対して、\(V_{f (p)} = V'_{f (p)} \cap T_2\)、ここで、\(V'_{f (p)} \subseteq M_2\)は\(M_2\)上でオープン（開）。\(f \vert_{U'_p \cap T_1}\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）であるから、\(p\)の周りに以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）\(V_p \subseteq U'_p \cap T_1\)、つまり、\(f \vert_{U'_p \cap T_1} (V_p) \subseteq V'_{f (p)}\)、がある。\(f\)は\(T_2\)の中へのものであるから、\(f \vert_{U'_p \cap T_1} (V_p) \subseteq V'_{f (p)} \cap T_2 = V_{f (p)}\)。\(V_p\)は\(U'_p \cap T_1\)上でオープン（開）であるから、\(V_p = V'_p \cap T_1\)、ここで、\(V'_p \subseteq U'_p\)、\(U'_p\)上でオープン（開）。\(V'_p\)は\(M_1\)上でオープン（開）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって、したがって、\(V_p = V'_p \cap T_1\)は\(T_1\)上でオープン（開）である。実のところ、\(f \vert_{U'_p \cap T_1} (V_p) = f (V_p)\)。したがって、\(f (p)\)の周りの任意のオープンセット（開集合）\(V_{f (p)} \subseteq T_2\)に対して、\(p\)の周りに以下を満たすあるオープンセット（開集合）\(V_p \subseteq T_1\)、つまり、\(f (V_p) \subseteq V_{f (p)}\)、がある、それが意味するのは、\(f\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）であるということ。
4: 注
\(T_1, T_2\)は\(M_1, M_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）たちでなければならない: 単に\(M_1, M_2\)の中にセット（集合）的にいるというのは、それらをトポロジカルサブスペース（部分空間）たちにしない。
本命題は、典型的には、\(T_1, T_2\)が何らのユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)のサブスペース（部分空間）たちであり、\(f\)が\(M_1\)および\(M_2\)のスタンダードコーディネート（座標）たちで表現される時に使われる。すると、当該表現は実のところ\(\phi'_{f (p)} \circ f' \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap T_1)}: \phi'_p (U'_p \cap T_1) \to \phi'_{f (p)} (U'_{f (p)}) = id \circ f' \circ {id}^{-1} \vert_{id (M_1 \cap T_1)}: id (M_1 \cap T_1) \to id (M_2) = f' \vert_{T_1}: T_1 \to M_2\)であり、もしも、それがコンティニュアス（連続）である場合、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
一部のテキストブックたちは無造作に、\(f\)のコンティニュアス（連続）性を、\(f\)を何らの周辺ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのコーディネート（座標）たちによって表現することで主張するが（そうした周辺スペース（空間）たちの（\(T_1\)および\(T_2\)のではなく）コーディネート（座標）たちによるその表現がどのようにその主張を妥当化するのか？）、本命題がその主張を妥当化する（\(T_1\)および\(T_2\)は当該周辺ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのトポロジカルサブスペース（部分空間）たちでなければならない; 単に周辺ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの中にセット（集合）的にいるだけでは十分でない）。
