265: トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、それらは$C^\infty$マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、ポイントおよびポイントイメージ（像）の周りにマニフォールド（多様体）たちのチャートたちおよびチャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのリストリクテッド（制限された）コーディネート（座標）たちファンクション（関数）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合|T.B.P.日本語版

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トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、それらは

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、ポイントおよびポイントイメージ（像）の周りにマニフォールド（多様体）たちのチャートたちおよびチャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのリストリクテッド（制限された）コーディネート（座標）たちファンクション（関数）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合、ことの記述/証明

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

開始コンテキスト

読者は、ポイントにおいてコンティヌアス（連続）なマップ（写像）の定義を知っている。
読者は、 $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

T_{1}

\in {全てのトポロジカルスペース（空間）たち}

T_{2}

\in {全てのトポロジカルスペース（空間）たち}

f

: T_{1} \to T_{2}

p

\in T_{1}

//

ステートメント（言明）たち:
(

\exists M_{1}, M_{2} \in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）たち} (T_{1} \subseteq M_{1} \land T_{1} \in {M_{1} の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち} \land T_{2} \subseteq M_{2} \land T_{2} \in {M_{2} の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち})

\land

\exists (U_{p}^{'} \subseteq M_{1}, ϕ_{p}^{'}) \in {p の周りの全てのチャートたち} \land \exists (U_{f (p)}^{'} \subseteq M_{2}, ϕ_{f (p)}^{'}) \in {f (p) の周りの全てのチャートたち} \land \exists f^{'} : U_{p}^{'} \to U_{f (p)}^{'} (f^{'} |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} = f |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} \land ϕ_{f (p)}^{'} \circ f^{'} \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap T_{1})} : ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap T_{1}) \to ϕ_{f (p)}^{'} (U_{f (p)}^{'}) \in {全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち})

)

⟹

f \in {p においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち}

2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち

T_{1}, T_{2}

、任意のマップ（写像）

f : T_{1} \to T_{2}

、任意のポイント

p \in T_{1}

に対して、

f

は

p

においてコンティニュアス（連続）である、もしも、

T_{j}

はある

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）

M_{j}

のサブスペース（部分空間）であり、

p

の周りのあるチャート

(U_{p}^{'} \subseteq M_{1}, ϕ_{p}^{'})

および

f (p)

の周りのあるチャート

(U_{f (p)}^{'} \subseteq M_{2}, ϕ_{f (p)}^{'})

、以下を満たすあるマップ（写像）

f^{'} : U_{p}^{'} \to U_{f (p)}^{'}

、つまり、

f^{'} |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} = f |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}}

、があり、リストリクテッド（制限された）コーディネート（座標）たちファンクション（関数）

ϕ_{f (p)}^{'} \circ f^{'} \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap T_{1})} : ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap T_{1}) \to ϕ_{f (p)}^{'} (U_{f (p)}^{'})

がコンティニュアス（連続）である場合。

3: 証明

ϕ_{f (p)}^{'} \circ f^{'} \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap T_{1})}

はコンティニュアス（連続）であるから、

f^{'} |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} : U_{p}^{'} \cap T_{1} \to U_{f (p)}^{'} = {ϕ_{f (p)}^{'}}^{- 1} \circ ϕ_{f (p)}^{'} \circ f^{'} \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap T_{1})} \circ ϕ_{p}^{'} |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}}

はコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）としてコンティニュアス（連続）である、なぜなら、

ϕ_{p}^{'} |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} : U_{p}^{'} \cap T_{1} \to ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap T_{1})

はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

それが意味するのは、

f |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} = f^{'} |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} : U_{p}^{'} \cap T_{1} \to U_{f (p)}^{'}

はコンティニュアス（連続）であるということ、そして、

f |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} : U_{p}^{'} \cap T_{1} \to M_{2}

はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。

f (p)

の周りの任意のオープンサブセット（開部分集合）

V_{f (p)} \subseteq T_{2}

に対して、

V_{f (p)} = V_{f (p)}^{'} \cap T_{2}

、ここで、

V_{f (p)}^{'} \subseteq M_{2}

は

M_{2}

上でオープン（開）。

f |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}}

は

p

においてコンティニュアス（連続）であるから、

p

の周りに以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）

V_{p} \subseteq U_{p}^{'} \cap T_{1}

、つまり、

f |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} (V_{p}) \subseteq V_{f (p)}^{'}

、がある。

f

は

T_{2}

の中へのものであるから、

f |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} (V_{p}) \subseteq V_{f (p)}^{'} \cap T_{2} = V_{f (p)}

。

V_{p}

は

U_{p}^{'} \cap T_{1}

上でオープン（開）であるから、

V_{p} = V_{p}^{'} \cap T_{1}

、ここで、

V_{p}^{'} \subseteq U_{p}^{'}

、

U_{p}^{'}

上でオープン（開）。

V_{p}^{'}

は

M_{1}

上でオープン（開）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって、したがって、

V_{p} = V_{p}^{'} \cap T_{1}

は

T_{1}

上でオープン（開）である。実のところ、

f |_{U_{p}^{'} \cap T_{1}} (V_{p}) = f (V_{p})

。したがって、

f (p)

の周りの任意のオープンセット（開集合）

V_{f (p)} \subseteq T_{2}

に対して、

p

の周りに以下を満たすあるオープンセット（開集合）

V_{p} \subseteq T_{1}

、つまり、

f (V_{p}) \subseteq V_{f (p)}

、がある、それが意味するのは、

f

は

p

においてコンティニュアス（連続）であるということ。

4: 注

T_{1}, T_{2}

は

M_{1}, M_{2}

のトポロジカルサブスペース（部分空間）たちでなければならない: 単に

M_{1}, M_{2}

の中にセット（集合）的にいるというのは、それらをトポロジカルサブスペース（部分空間）たちにしない。

本命題は、典型的には、

T_{1}, T_{2}

が何らのユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たち

M_{1}, M_{2}

のサブスペース（部分空間）たちであり、

f

が

M_{1}

および

M_{2}

のスタンダードコーディネート（座標）たちで表現される時に使われる。すると、当該表現は実のところ

ϕ_{f (p)}^{'} \circ f^{'} \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap T_{1})} : ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap T_{1}) \to ϕ_{f (p)}^{'} (U_{f (p)}^{'}) = i d \circ f^{'} \circ {i d}^{- 1} |_{i d (M_{1} \cap T_{1})} : i d (M_{1} \cap T_{1}) \to i d (M_{2}) = f^{'} |_{T_{1}} : T_{1} \to M_{2}

であり、もしも、それがコンティニュアス（連続）である場合、

f

はコンティニュアス（連続）である。

一部のテキストブックたちは無造作に、

f

のコンティニュアス（連続）性を、

f

を何らの周辺ユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちのコーディネート（座標）たちによって表現することで主張するが（そうした周辺スペース（空間）たちの（

T_{1}

および

T_{2}

のではなく）コーディネート（座標）たちによるその表現がどのようにその主張を妥当化するのか？）、本命題がその主張を妥当化する（

T_{1}

および

T_{2}

は当該周辺ユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちのトポロジカルサブスペース（部分空間）たちでなければならない; 単に周辺ユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちの中にセット（集合）的にいるだけでは十分でない）。

参考資料

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2023年5月7日日曜日

話題

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開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

オリエンテーション

本体

1: 構造化された記述

2: 自然言語記述

3: 証明

4: 注

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