253: セット（集合）たちのカーディナリティたちの積たちはアソシアティブ（結合的）である

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セット（集合）たちのカーディナリティたちの積たちはアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）のカーディナリティの定義を知っている。
• 読者は、任意のセット（集合）たちのネストされたプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の、セット（集合）たちのカーディナリティたちのネストされたプロダクトたちはアソシアティブ（結合的）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2,S_3$に対して、カーディナリティたちのネストされたプロダクト$(card{S}_{1}card{S}_2)card{S}_3$は$card{S}_1(card{S}_{2}card{S}_3)$に等しい。

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2: 証明

$(card{S}_{1}card{S}_2)card{S}_3=card(S_1\times S_2)card{S}_3=card((S_1\times S_2)\times S_3)$、カーディナリティたちの算術の定義によって。$card{S}_1(card{S}_{2}card{S}_3)=card{S}_{1}card(S_2\times S_3)=card(S_1\times (S_2\times S_3))$。任意のセット（集合）たちのネストされたプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であるという命題によって、$(S_1\times S_2)\times S_3)$と$S_1\times (S_2\times S_3)$はお互いに対して'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、したがって、当該カーディナリティたちは同一である。

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3: 注

本命題のため、表現$card{S}_{1}card{S}_{2}card{S}_3$が、曖昧さなしに可能である。

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参考資料

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