トポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しいことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトトポロジカルサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、\(S\)はサブセット（部分集合）としてコンパクトである、もしも、\(S\)がトポロジカルサブスペース（部分空間）としてコンパクトである場合、そして、その場合に限って。
2: 証明
\(S\)はサブセット（部分集合）としてコンパクトであると仮定しよう。\(S\)の\(T\)上の任意のオープンカバー（開被覆）はある有限サブカバー（被覆）を持つ。\(S\)の\(S\)上の任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U_\alpha\}\)に対して、\(U_\alpha = U'_\alpha \cap S\)、ここで、\(U'_\alpha\)は\(T\)上のオープンセット（開集合）、である。\(\{U'_\alpha\}\) は\(S\)の\(T\)上のオープンカバー（開被覆）である、したがって、ある有限サブカバー（被覆）\(\{U'_j\}\)がある。すると、\(\{U'_j \cap S\} = \{U_j\}\)は\(\{U_\alpha\}\)の有限サブカバー（被覆）である。
\(S\)はサブスペース（部分空間）としてコンパクトであると仮定しよう。\(S\) の\(S\)上の任意のオープンカバー（開被覆）は有限サブカバー（被覆）を持つ。\(S\)の\(T\)上の任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U'_\alpha\}\)に対して、\(\{U_\alpha = U'_\alpha \cap S\}\)は\(S\)の\(S\)上のオープンカバー（開被覆）である、したがって、ある有限サブカバー（被覆）\(U_j\)がある。すると、対応する\(\{U'_j\}\)は\(\{U'_\alpha\}\)の有限サブカバー（被覆）である。
