290: トポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい

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トポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しいことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、コンパクトトポロジカルサブセット（部分集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、$S$はサブセット（部分集合）としてコンパクトである、もしも、$S$がトポロジカルサブスペース（部分空間）としてコンパクトである場合、そして、その場合に限って。

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2: 証明

$S$はサブセット（部分集合）としてコンパクトであると仮定しよう。$S$の$T$上の任意のオープンカバー（開被覆）はある有限サブカバー（被覆）を持つ。$S$の$S$上の任意のオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }\}$に対して、$U_{\alpha }=U_{\alpha }^{\prime }\cap S$、ここで、$U_{\alpha }^{\prime }$は$T$上のオープンセット（開集合）、である。$\{U_{\alpha }^{\prime }\}$ は$S$の$T$上のオープンカバー（開被覆）である、したがって、ある有限サブカバー（被覆）$\{U_j^{\prime }\}$がある。すると、$\{U_j^{\prime }\cap S\}=\{U_j\}$は$\{U_{\alpha }\}$の有限サブカバー（被覆）である。

$S$はサブスペース（部分空間）としてコンパクトであると仮定しよう。$S$ の$S$上の任意のオープンカバー（開被覆）は有限サブカバー（被覆）を持つ。$S$の$T$上の任意のオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }^{\prime }\}$に対して、$\{U_{\alpha }=U_{\alpha }^{\prime }\cap S\}$は$S$の$S$上のオープンカバー（開被覆）である、したがって、ある有限サブカバー（被覆）$U_j$がある。すると、対応する$\{U_j^{\prime }\}$は$\{U_{\alpha }^{\prime }\}$の有限サブカバー（被覆）である。

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参考資料

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