289: クローズドセット（閉集合）マイナスオープンセット（開集合）はクローズド（閉）である

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クローズドセット（閉集合）マイナスオープンセット（開集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、 任意のクローズドセット（閉集合）マイナス任意のオープンセット（開集合）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T$、任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T$に対して、当該クローズドセット（閉集合）マイナス当該オープンセット（開集合）$C\setminus U$は$T$上でクローズド（閉）である。

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2: 証明

任意のポイント$p\in T\setminus (C\setminus U)$に対して、$p\notin C\setminus U$。1): $p\notin C$ または2): $p\in C\cap U$。

1)に対して、$p\in T\setminus C$、オープン（開）。$p$のあるオープン（開）なネイバーフッド（近傍）$U_p\subseteq T\setminus C$がある。$U_p\subseteq T\setminus (C\setminus U)$？任意のポイント$p^{\prime }\in U_p$に対して、$p^{\prime }\notin C$、したがって、$p^{\prime }\notin C\setminus U$。したがって、はい、$U_p\subseteq T\setminus (C\setminus U)$。

2)に対して、$p$のあるオープン（開）なネイバーフッド（近傍）$U_p\subseteq U$がある。$U_p\subseteq T\setminus (C\setminus U)$？任意のポイント$p^{\prime }\in U_p$に対して、$p^{\prime }\notin C\setminus U$。したがって、はい、$U_p\subseteq T\setminus (C\setminus U)$。

オープン（開）であることのローカル基準によって、$T\setminus (C\setminus U)$はオープン（開）である、したがって、$C\setminus U$はクローズド（閉）である。

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参考資料

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