クローズドセット（閉集合）マイナスオープンセット（開集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、 任意のクローズドセット（閉集合）マイナス任意のオープンセット（開集合）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のクローズドセット（閉集合）\(C \subseteq T\)、任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)に対して、当該クローズドセット（閉集合）マイナス当該オープンセット（開集合）\(C \setminus U\)は\(T\)上でクローズド（閉）である。
2: 証明
任意のポイント\(p \in T \setminus (C \setminus U)\)に対して、\(p \notin C \setminus U\)。1): \(p \notin C\) または2): \(p \in C \cap U\)。
1)に対して、\(p \in T \setminus C\)、オープン（開）。\(p\)のあるオープン（開）なネイバーフッド（近傍）\(U_p \subseteq T \setminus C\)がある。\(U_p \subseteq T \setminus (C \setminus U)\)？任意のポイント\(p' \in U_p\)に対して、\(p' \notin C\)、したがって、\(p' \notin C \setminus U\)。したがって、はい、\(U_p \subseteq T \setminus (C \setminus U)\)。
2)に対して、\(p\)のあるオープン（開）なネイバーフッド（近傍）\(U_p \subseteq U\)がある。\(U_p \subseteq T \setminus (C \setminus U)\)？任意のポイント\(p' \in U_p\)に対して、\(p' \notin C \setminus U\)。したがって、はい、\(U_p \subseteq T \setminus (C \setminus U)\)。
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(T \setminus (C \setminus U)\)はオープン（開）である、したがって、\(C \setminus U\)はクローズド（閉）である。
