インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）はリーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）のインバース（逆）であることの記述/証明
話題
About: リーマニアンマニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーマニアンメトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、当該マニフォールド（多様体）上の任意のリーマニアンメトリック（計量）、当該マニフォールド（多様体）の任意のチャートに対して、当該インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）は当該リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）のインバース（逆）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、\(T\)上の任意のリーマニアンメトリック（計量）\(g\)、\(T\)上の任意のチャートに対して、当該インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）\({g^{-1}}^{ij}\)は\(g\)のコーディネートたちマトリックス（座標行列）\(g^{ij}\)のインバース（逆）である、つまり、\({g^{-1}}^{ij} g_{jk} = \delta^i_k\)。
2: 証明
\(g (V, \bullet)\)、ここで、\(V\)は任意のベクトルたちフィールド（場）、はコベクトルたちフィールド（場）である。\(g^{-1} (\Omega, g (V, \bullet)) = \Omega (b^{-1} (g (V, \bullet))) = \Omega (V)\)、ここで、\(\Omega\)は任意のコベクトルたちフィールド（場）、である、なぜなら、\(b (V) (\bullet) = g (V, \bullet)\)および\(b^{-1} (b (V) (\bullet)) = V = b^{-1} (g (V, \bullet))\)。そこで\(\Omega = \epsilon^i\)および\(V = e_j\)、ここで、\(e_j\)は当該チャートオープンセット（開集合）上のスタンダードベーシス（基底）のj番目メンバーで\(\epsilon^i\)はデュアルベーシス（基底）のi番目メンバー、とおこう。\(g^{-1} (\epsilon^i, g (e_j, \bullet)) = \epsilon^i (e_j) = \delta^i_j\)。\(g (e_j, \bullet) = \sigma_{j-k} \epsilon_k\)、ここで、\(\sigma_{j-k}\)たちは当該チャートオープンセット（開集合）上のファンクション（関数）たち、である。そこで\(\bullet = e_l\)とおこう。\(g (e_j, e_l) = g_{jl} = \sigma_{j-k} \epsilon_k (e_l) = \sigma_{j-k} \delta^k_l = \sigma_{j-l}\)、したがって、\(g (e_j, \bullet) = g_{jk} \epsilon^k\)。\(g^{-1} (\epsilon^i, g_{jk} \epsilon^k) = {g^{-1}}^{ik} g_{jk} = {g^{-1}}^{ik} g_{kj} = \delta^i_j\)。
