291: インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）はリーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）のインバース（逆）である

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インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）はリーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）のインバース（逆）であることの記述/証明

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話題

About: リーマニアンマニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リーマニアンメトリック（計量）の定義を知っている。
• 読者は、インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、当該マニフォールド（多様体）上の任意のリーマニアンメトリック（計量）、当該マニフォールド（多様体）の任意のチャートに対して、当該インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）は当該リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）のインバース（逆）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、$T$上の任意のリーマニアンメトリック（計量）$g$、$T$上の任意のチャートに対して、当該インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）${g^{-1}}^{ij}$は$g$のコーディネートたちマトリックス（座標行列）$g^{ij}$のインバース（逆）である、つまり、${g^{-1}}^{ij}{g}_{jk}={\delta }_k^i$。

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2: 証明

$g(V,\bullet )$、ここで、$V$は任意のベクトルたちフィールド（場）、はコベクトルたちフィールド（場）である。$g^{-1}(\mathrm{\Omega },g(V,\bullet ))=\mathrm{\Omega }(b^{-1}(g(V,\bullet )))=\mathrm{\Omega }(V)$、ここで、$\mathrm{\Omega }$は任意のコベクトルたちフィールド（場）、である、なぜなら、$b(V)(\bullet )=g(V,\bullet )$および$b^{-1}(b(V)(\bullet ))=V=b^{-1}(g(V,\bullet ))$。そこで$\mathrm{\Omega }={ϵ}^i$および$V=e_j$、ここで、$e_j$は当該チャートオープンセット（開集合）上のスタンダードベーシス（基底）のj番目メンバーで${ϵ}^i$はデュアルベーシス（基底）のi番目メンバー、とおこう。$g^{-1}({ϵ}^i,g(e_j,\bullet ))={ϵ}^i(e_j)={\delta }_j^i$。$g(e_j,\bullet )={\sigma }_{j-k}{ϵ}_k$、ここで、${\sigma }_{j-k}$たちは当該チャートオープンセット（開集合）上のファンクション（関数）たち、である。そこで$\bullet =e_l$とおこう。$g(e_j,e_l)=g_{jl}={\sigma }_{j-k}{ϵ}_k(e_l)={\sigma }_{j-k}{\delta }_l^k={\sigma }_{j-l}$、したがって、$g(e_j,\bullet )=g_{jk}{ϵ}^k$。$g^{-1}({ϵ}^i,g_{jk}{ϵ}^k)={g^{-1}}^{ik}{g}_{jk}={g^{-1}}^{ik}{g}_{kj}={\delta }_j^i$。

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参考資料

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