オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）オペレーションに対して、値は引数に等しいか引数を包含することの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オーディナル（順序）数の定義を知っている。
- 読者は、モノトーン（単調）オペレーションの定義を知っている。
- 読者は、トランスファイナイト（超限）インダクションプリンシプル（帰納法）を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）オペレーションおよび任意の引数に対して、値は引数に等しいか引数を包含するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）オペレーション\(f: O \rightarrow O\)、ここで、\(O\)は全オーディナル（順序）数たちコレクション、および任意の引数\(o \in O\)に対して、\(o \in= f (o)\)、ここで、\(\in=\)は\(\in\)または\(=\)であることを意味する。
2: 証明
\(0 \in= f (0)\)。
任意の\(o_0 \in O\)に対して、任意の\(o_1 \in o_0\)に対して、\(o_1 \in= f (o_1)\)であると仮定しよう。その時、\(o_0 \in= f (o_0)\)？
\(o_0\)はサクセッサー（後続）オーディナル（順序）数\(o_0 = {o_2}^+\)であると仮定しよう。\(o_2 \in o_0\)、したがって、\(o_2 \in= f (o_2)\)。もしも、\(o_2 \in f (o_2)\)であれば,\({o_2}^+ \in= f (o_2)\)、しかし、\(f (o_2) \in f ({o_2}^+)\)、したがって、\({o_2}^+ \in f ({o_2}^+)\)。もしも、\(o_2 = f (o_2)\)であれば、\({o_2}^+ = (f (o_2))^+\)、しかし、\((f (o_2))^+ \in= f ({o_2}^+)\)、したがって、\({o_2}^+ \in= f ({o_2}^+)\)。
\(o_0\)はリミット（限界）オーディナル（順序）数\(o_0 = \cup \{o\vert o \in o_0\}\)であると仮定しよう。任意の\(o \in o_0\)に対して、\(f (o) \in f (o_0)\)。\(sup \{f (o)\vert o \in o_0\} \in= f (o_0)\)、なぜなら、\(f (o_0)\)は\(\{f (o)\vert o \in o_0\}\)のアッパーバウンド（上限）である。ところで、\(o_0 = sup \{o\vert o \in o_0\}\)。\(o \in= f (o)\)であるから、\(sup \{o\vert o \in o_0\} \in= sup \{f (o)\vert o \in o_0\}\)。\(o_0 = sup \{o\vert o \in o_0\} \in= sup \{f (o)\vert o \in o_0\} \in= f (o_0)\)。
したがって、はい、前出の疑問に対して。
トランスファイナイト（超限）インダクションプリンシプル（帰納法）によって、任意のオーディナル（順序）数\(o_0 \in O\)に対して、\(o_0 \in= f (o_0)\)。
