2023年6月4日日曜日

292: オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）オペレーションに対して、値は引数に等しいか引数を包含する

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オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）オペレーションに対して、値は引数に等しいか引数を包含することの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）オペレーションおよび任意の引数に対して、値は引数に等しいか引数を包含するという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）オペレーションf:O→O、ここで、Oは全オーディナル（順序）数たちコレクション、および任意の引数o∈Oに対して、o∈=f(o)、ここで、∈=は∈または=であることを意味する。

2: 証明


0∈=f(0)。

任意のo0∈Oに対して、任意のo1∈o0に対して、o1∈=f(o1)であると仮定しよう。その時、o0∈=f(o0)？

o0はサクセッサー（後続）オーディナル（順序）数o0=o2+であると仮定しよう。o2∈o0、したがって、o2∈=f(o2)。もしも、o2∈f(o2)であれば,o2+∈=f(o2)、しかし、f(o2)∈f(o2+)、したがって、o2+∈f(o2+)。もしも、o2=f(o2)であれば、o2+=(f(o2))+、しかし、(f(o2))+∈=f(o2+)、したがって、o2+∈=f(o2+)。

o0はリミット（限界）オーディナル（順序）数o0=∪{o|o∈o0}であると仮定しよう。任意のo∈o0に対して、f(o)∈f(o0)。sup{f(o)|o∈o0}∈=f(o0)、なぜなら、f(o0)は{f(o)|o∈o0}のアッパーバウンド（上限）である。ところで、o0=sup{o|o∈o0}。o∈=f(o)であるから、sup{o|o∈o0}∈=sup{f(o)|o∈o0}。o0=sup{o|o∈o0}∈=sup{f(o)|o∈o0}∈=f(o0)。

したがって、はい、前出の疑問に対して。

トランスファイナイト（超限）インダクションプリンシプル（帰納法）によって、任意のオーディナル（順序）数o0∈Oに対して、o0∈=f(o0)。

参考資料
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