273: メンバーシップによるパーシャルオーダリング（部分的順序）を持つトランジティブセット（推移的集合）に対して、要素はそれへのイニシャルセグメントである

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メンバーシップによるパーシャルオーダリング（部分的順序）を持つトランジティブセット（推移的集合）に対して、要素はそれへのイニシャルセグメントであることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トランジティブセット（推移的集合）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）の要素へのイニシャルセグメントの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトランジティブセット（推移的集合）でメンバーシップによる少なくともパーシャルであるオーダリング（順序）を持つもの（メンバーシップによるオーダリング（順序）が実際にパーシャルオーダリング（部分的順序）だと仮定して）に対して、任意の要素はそれへのイニシャルセグメントであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトランジティブセット（推移的集合）$S$でメンバーシップによる少なくともパーシャルであるオーダリング（順序）を持つもの（メンバーシップによるオーダリング（順序）が実際にパーシャルオーダリング（部分的順序）だと仮定して）に対して、任意の要素$p\in S$は$p$へのイニシャルセグメント$segp$である、つまり、$p=segp$。

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2: 証明

$segp$の任意の要素$p^{\prime }\in segp$に対して、$p^{\prime }\in p$、なぜなら、$p^{\prime }<p$であるのは、もしも、$p^{\prime }\in S$および$p^{\prime }\in p$である場合、そしてその場合に限ってである、メンバーシップによるオーダリング（順序）の定義によって。$p$の任意の要素$p^{\prime }\in p$に対して、$p^{\prime }\in segp$、なぜなら、$p^{\prime }\in S$、$S$はトランジティブセット（推移的集合）であるから。したがって、$p^{\prime }<p$。

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参考資料

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