272: コンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはコンパクトである

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コンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはコンパクトであることの記述

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）数トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトは当該トポロジカルスペース（空間）たちのシーケンシャル（累次的）プロダクトたちに等しいという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2,...,T_n$に対して、プロダクトトポロジカルスペース（空間）$T=T_1\times T_2\times ...\times T_n$はコンパクトである。

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2: 証明

第1に、$n=2$であるケースを考えよう。

$T$の任意のオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }\subseteq T|\alpha \in A\}$、ここで、$A$はアンカウンタブルかもしれないあるインデックスたちセット（集合）、に対して、$U_{\alpha }={\cup }_{\beta \in B_{\alpha }}{U}_{1,\alpha ,\beta }\times U_{2,\alpha ,\beta }$、ここで、$B_{\alpha }$は$\alpha$に依存するアンカウンタブルかもしれないあるインデックスたちセット（集合）。

各ポイント$p\in T_1$に対して、サブセット（部分集合）$S_p:=\{U_{1,\alpha ,\beta }\times U_{2,\alpha ,\beta }|(\alpha ,\beta )\in C_p\}\}\subseteq \{U_{1,\alpha ,\beta }\times U_{2,\alpha ,\beta }|\alpha \in A,\beta \in B_{\alpha }\}$、ここで、$C_p$は以下を満たすアンカウンタブルかもしれないあるインデックスたちセット（集合）、つまり、各$(\alpha ,\beta )\in C_p$に対して$p\in U_{1,\alpha ,\beta }$、がある。$S_{2,p}:=\{U_{2,\alpha ,\beta }|(\alpha ,\beta )\in C_p\}$は$T_2$をカバーする。

$S_{2,p}$に対して、あるファイナイト（有限）サブカバー$\{U_{2,\alpha ,\beta }|(\alpha ,\beta )\in D_p\}$、ここで、$D_p\subseteq C_p$はあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、があり、各$p$に対して.対応する$\{U_{1,\alpha ,\beta }\times U_{2,\alpha ,\beta }|(\alpha ,\beta )\in D_p\}\subseteq S_p$がある。

$U_{1,p}^{\prime }:={\cap }_{(\alpha ,\beta )\in D_p}{U}_{1,\alpha ,\beta }$、$T_1$上でオープン（開）、オープンセット（開集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として、を取ろう。$\{U_{1,p}^{\prime }|p\in T_1\}$は$T_1$をカバーし、あるファイナイト（有限）サブカバー$\{U_{1,p}^{\prime }|p\in E\}$、ここで、$E\subseteq T_1$ｈあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）、がある。

$F:=\{\alpha \in A|\mathrm{\exists }\beta \in B_{\alpha }((\alpha ,\beta )\in D_p,p\in E)\}$、それはファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、なぜなら、$E$はファイナイト（有限）で$D_p$は各$p$に対してファイナイト（有限）、を取ろう。

$\{U_{\alpha }|\alpha \in F\}$は$T_1\times T_2$をカバーする、なぜなら、任意の$(p^1,p^2)\in T_1\times T_2$に対して、ある$p\in E$および各$(\alpha ,\beta )\in D_p$に対して$p^1\in U_{1,p}^{\prime }\subseteq U_{1,\alpha ,\beta }$、そして、ある$(\alpha ,\beta )\in D_p$に対して$p_2\in U_{2,\alpha ,\beta }$、なぜなら、$\{U_{2,\alpha ,\beta }|(\alpha ,\beta )\in D_p\}$は$T_2$をカバーする、したがって、ある$(\alpha ,\beta )\in D_p$に対して$(p^1,p^2)\in U_{1,\alpha ,\beta }\times U_{2,\alpha ,\beta }$、その一方で、$U_{1,\alpha ,\beta }\times U_{2,\alpha ,\beta }\subseteq U_{\alpha }$、ここで、$\alpha \in F$。

したがって、$\{U_{\alpha }|\alpha \in F\}$は$\{U_{\alpha }|\alpha \in A\}$のファイナイト（有限）サブカバーである。

したがって、$T_1\times T_2$はコンパクトである。

一般の任意の$n$に対して、$T_1\times T_2\times ...\times T_n=(...(T_1\times T_2)\times ...)\times T_n$、任意のファイナイト（有限）数トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトは当該トポロジカルスペース（空間）たちのシーケンシャル（累次的）プロダクトたちに等しいという命題によって、しかし、$T_1\times T_2$は上記パラグラフによってコンパクトである、すると、$(T_1\times T_2)\times T_3$は上記パラグラフによってコンパクトである、等々と続く（厳密には、数学的帰納法を使えば良い）。したがって、$T_1\times T_2\times ...\times T_n$はコンパクトである。

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参考資料

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