2023年5月7日日曜日

274: オーディナル（順序）数はグラウンデッドであり、そのランクはそれ自身である

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オーディナル（順序）数はグラウンデッドであり、そのランクはそれ自身であることの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のオーディナル（順序）数はグラウンデッドであり、そのランクはそれ自身であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のオーディナル（順序）数oはグラウンデッドであり、そのランクはrank oはそれ自身である、つまり、rank o=o。

2: 証明


任意のオーディナル（順序）数δに対して、メンバーシップによるオーダリング（順序）はパーシャルオーダリング（部分的順序）である、なぜなら、任意のo∈δに対して\o∉o、そして、以下を満たす任意のo,o′,o″∈δ、つまり、o′∈oおよびo″∈o′、に対して、o″∈o。

o⊆Vo、ここで、V0=∅およびVo=∪{PowVo′|o′∈o}、を証明しよう。全てのオーディナル（順序）数たちのコレクションはZFCセット（集合）理論においてセット（集合）ではないので、そのコレクションにトランスファイナイト（超限）帰納法は使えない、したがって、任意のオーディナル（順序）数δのことを考えよう、それはウェルオーダードセット（集合）である、そして、もしも、各o∈δに対してo⊆Voであれば、o⊆Voが任意のオーディナル（順序）数oに対して成立するだろう、なぜなら。任意のオーディナル（順序）数はあるオーディナル（順序）数のメンバーであるから。

δのサブセット（部分集合）S:={o∈δ|o⊆Vo}を定義しよう。任意のo′∈δに対して、もしも、seg o′⊆Sであれば、o′∈Sか？任意のo″∈o′に対して、o″⊆Vo″、o″∈PowVo″。任意のオーディナル（順序）数はトランジティブセット（推移的集合）であるという命題および任意のトランジティブセット（推移的集合）でメンバーシップによる少なくともパーシャルであるオーダリング（順序）を持つもの（メンバーシップによるオーダリング（順序）が実際にパーシャルオーダリング（部分的順序）だと仮定して）に対して、任意の要素はそれへのイニシャルセグメントであるという命題によって、o′=seg o′。任意のp∈o′に対して、以下を満たすあるo″∈o′、つまり、p=o″、があり、Vo′=∪o″∈o′PowVo″、しかし、以前に示されたとおり、o″∈PowVo″、したがって、p∈Vo′、したがって、o′⊆Vo′、したがって、o′∈S。トランスファイナイト（超限）帰納法によって、どんなo∈δに対してもo⊆Vo。

したがって、任意のオーディナル（順序）数はグラウンデッドである。

任意のオーディナル（順序）数oに対して、以下を満たすオーディナル（順序）数o′∈o、つまり、o⊆Vo′、はないことを証明しよう。以前と同様に、任意のオーディナル（順序）数δのことを考え、δにトランスファイナイト（超限）帰納法を用いよう、すると、本命題は任意のオーディナル（順序）数に対して成立するだろう、結局のところ。

δのサブセット（部分集合）S:={o∈δ| there is no o′∈o such that o⊆Vo′}を定義しよう。任意のo′∈δに対して、もしも、seg o′⊆Sであれば、o′∈Sか？以下を満たすあるo″∈o′、つまり、o′⊆Vo″、があったと仮定しよう。Vo″=∪o‴∈o″PowVo‴であるから、任意のp∈o′に対して、p∈∪o‴∈o″PowVo‴、したがって、あるo‴に対してp∈PowVo‴、しかし、pはo″であると選択できる、なぜなら、o′=seg o′、すると、o″∈PowVo‴、したがって、o″⊆Vo‴、seg o′⊆Sであるという仮定に対する矛盾、したがって、o′⊆Vo″を満たすo″∈o′はない、したがって、o′∈S。トランスファイナイト（超限）帰納法によって、どんなo∈δに対しても、o⊆Vo′を満たすo′∈oはない。

したがって、任意のオーディナル（順序）数oに対してrank o=o。

参考資料
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