268: セット（集合）の、オーダリング（順序）のインバース（逆）に関する最大要素はセット（関数）の、元のオーダリング（順序）に関する最小要素である

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セット（集合）の、オーダリング（順序）のインバース（逆）に関する最大要素はセット（関数）の、元のオーダリング（順序）に関する最小要素であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、オーダリング（順序）の定義を知っている。
• 読者は、オーダリング（順序）のインバース（逆）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）のオーダリング（順序）に関する最小の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）のオーダリング（順序）に関する最大の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）の、任意のオーダリング（順序）のインバース（逆）に関する任意の最大要素は当該セット（集合）の、元のオーダリング（順序）に関するある最小要素であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）$S$および任意のオーダリング（順序）$R\subseteq S\times S$に対して、$S$の、$R^{-1}$に関する任意の最大要素$m\in S$は$S$の、$R$に関するある最小要素である。

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2: 証明

以下を満たす$s\in S$、つまり、$⟨m,s⟩\in R^{-1}$、はない。すると、以下を満たす$s\in S$、つまり。$⟨s,m⟩\in R$、はない。したがって、$m$は$S$の、$R$に関するある最小要素である。

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参考資料

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