269: クローズド（閉）バイジェクション（全単射）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）である

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クローズド（閉）バイジェクション（全単射）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
• 読者は、クローズド（閉）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、もしも、あるトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下の任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そのマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のクローズド（閉）バイジェクション（全単射）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$および任意のクローズド（閉）バイジェクション（全単射）$f:T_1\to T_2$に対して、インバース（逆）$f^{-1}:T_2\to T_1$はコンティニュアス（連続）である。

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2: 証明

任意のクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T_1$に対して、$(f^{-1}{)}^{-1}(C)=f(C)$、それはクローズド（閉）である、クローズド（閉）マップ（写像）の定義によって。By もしも、あるトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下の任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そのマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、$f^{-1}$はコンティニュアス（連続）である。

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参考資料

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