281: どの2セット（集合）たちもお互いをメンバーとして持つことはない

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どの2セット（集合）たちもお互いをメンバーとして持つことはないことの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、お互いをメンバーとして持つような2セット（集合）たちはないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

以下を満たす$S_1,S_2$、つまり、$S_1\in S_2$および$S_2\in S_1$、はない。

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2: 証明

本命題はレギュラリティ（正規性）公理からくる。

$S_1\in S_2$および$S_2\in S_1$であると仮定する。サブセット（部分集合）公理によって、$S_1^{\prime }:=\{s\in S_1|s=S_2\}=\{S_2\}$および$S_2^{\prime }:=\{s\in S_2|s=S_1\}=\{S_1\}$はセット（集合）たちだということになる。ユニオン（和集合）公理によって、$S:=S_1^{\prime }\cup S_2^{\prime }=\{S_1,S_2\}$はセット（集合）だということになる。$S\cap S_1\ne \mathrm{\varnothing }$、なぜなら、$S_2\in S$および$S_2\in S_1$、そして、$S\cap S_2\ne \mathrm{\varnothing }$、なぜなら、$S_1\in S$および$S_1\in S_2$、矛盾、レギュラリティ（正規性）公理に反して。

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参考資料

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