どの2セット（集合）たちもお互いをメンバーとして持つことはないことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、お互いをメンバーとして持つような2セット（集合）たちはないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
以下を満たす\(S_1, S_2\)、つまり、\(S_1 \in S_2\)および\(S_2 \in S_1\)、はない。
2: 証明
本命題はレギュラリティ（正規性）公理からくる。
\(S_1 \in S_2\)および\(S_2 \in S_1\)であると仮定する。サブセット（部分集合）公理によって、\(S'_1 := \{s \in S_1\vert s = S_2\} = \{S_2\}\)および\(S'_2 := \{s \in S_2\vert s = S_1\} = \{S_1\}\)はセット（集合）たちだということになる。ユニオン（和集合）公理によって、\(S := S'_1 \cup S'_2 = \{S_1, S_2\}\)はセット（集合）だということになる。\(S \cap S_1 \neq \emptyset\)、なぜなら、\(S_2 \in S\)および\(S_2 \in S_1\)、そして、\(S \cap S_2 \neq \emptyset\)、なぜなら、\(S_1 \in S\)および\(S_1 \in S_2\)、矛盾、レギュラリティ（正規性）公理に反して。
