パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはパスコネクト（連結）されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはパスコネクト（連結）されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
以下を満たす任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T = \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、つまり、各\(T_\alpha\)はパスコネクト（連結）されている、に対して、\(T\)はパスコネクト（連結）されている。
2: 証明
任意のポイントたち\(p_1, p_2 \in T\)に対して、\(p_{i-\alpha} \in T_\alpha\)、ここで、\(p_{i-\alpha}\)は\(p_i\)の\(\alpha\)コンポーネント、それは実のところ、\(p_i (\alpha)\)。\(T_\alpha\)はパスコネクト（連結）されているので、あるパス\(\lambda_\alpha: [r_1, r_2] \rightarrow T_\alpha, \lambda_\alpha (r_i) = p_{i-\alpha}\)がある。以下を満たす\(\lambda: [r_1, r_2] \rightarrow T\)、つまり、\(\pi_\alpha \lambda (r) = \lambda_\alpha (r)\)、ここで。\(\pi_\alpha\)は\(T\)の\(T_\alpha\)へのプロジェクション、を定義しよう。\(\lambda\)はパスである、任意のトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトへの任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも。当該マップ（写像）の各構成要素トポロジカルスペース（空間）へのプロジェクションがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。\(\lambda (r_1) = p_1\)および\(\lambda (r_2) = p_2\)。
