282: パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはパスコネクト（連結）されている

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パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはパスコネクト（連結）されていることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は。プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトへの任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも。当該マップ（写像）の各構成要素トポロジカルスペース（空間）へのプロジェクションがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のパスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはパスコネクト（連結）されているという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

以下を満たす任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）$T={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、つまり、各$T_{\alpha }$はパスコネクト（連結）されている、に対して、$T$はパスコネクト（連結）されている。

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2: 証明

任意のポイントたち$p_1,p_2\in T$に対して、$p_{i-\alpha }\in T_{\alpha }$、ここで、$p_{i-\alpha }$は$p_i$の$\alpha$コンポーネント、それは実のところ、$p_i(\alpha )$。$T_{\alpha }$はパスコネクト（連結）されているので、あるパス${\lambda }_{\alpha }:[r_1,r_2]\to T_{\alpha },{\lambda }_{\alpha }(r_i)=p_{i-\alpha }$がある。以下を満たす$\lambda :[r_1,r_2]\to T$、つまり、${\pi }_{\alpha }\lambda (r)={\lambda }_{\alpha }(r)$、ここで。${\pi }_{\alpha }$は$T$の$T_{\alpha }$へのプロジェクション、を定義しよう。$\lambda$はパスである、任意のトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトへの任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも。当該マップ（写像）の各構成要素トポロジカルスペース（空間）へのプロジェクションがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。$\lambda (r_1)=p_1$および$\lambda (r_2)=p_2$。

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参考資料

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