2023年5月21日日曜日

284: パワーセット（集合）公理とサブセット（部分集合）公理の間の関係

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パワーセット（集合）公理とサブセット（部分集合）公理の間の関係の記述

話題


About: セット（集合）

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開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、パワーセット（集合）公理とサブセット（部分集合）公理の間のある関係、ZFCセット（集合）理論が、任意のセット（集合）の任意の要素はセット（集合）であると規定する時、の記述を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 注


本記事内では、ZFCセット（集合）理論は、任意のセット（集合）の任意の要素はセット（集合）であると規定すると仮定する、それは、実のところ、決して必須事項ではなく、実のところ、そう規定しないいくつかの理論もある。しかし、少なくとも、主流の理論たちはそう規定しているようだ。

2: 記述


"パワーセット（集合）公理はサブセット（部分集合）公理を含意していないのか？"というのは、誰かが抱く疑問かもしれない。その人の意味するのは、"パワーセット（集合）はセット（集合）であり、パワーセット（集合）の任意の要素はセット（集合）だから、任意のサブセット（部分集合）は自動的にセット（集合）ではないのか、サブセット（部分集合）公理など無くても？"。

えーと、任意のサブセット（部分集合）は実際、セット（集合）であるはずだ、サブセット（部分集合）公理が無くても、しかし、具体的に何がそれらサブセット（部分集合）たちなのか？パワーセット（集合）公理は、もしも、あるサブセット（部分集合）があれば、それはセット（集合）であることを含意するが、どんなサブセット（部分集合）たちがあるかは語っていない。

例えば、自然数たちセット（集合）Nに対して、パワーセット（集合）公理は、単に、PowNで表わされる集合が存在し。PowNの任意の要素は"サブセット（部分集合）"と呼ばれるセット（集合）である、と言っている。Nおよび∅がNのサブセット（部分集合）たちであると保証されているのは、サブセット（部分集合）公理を使って、N={n∈N|n=n}および∅={n∈N|¬n=n}によってのみである; {1,2}がNのサブセット（部分集合）であると保証されているのは、{1,2}={n∈N|n=1∨n=2}によってのみである。

それでは、あるサブセット（部分集合）は、サブセット（部分集合）公理にあるフォーミュラϕを私たちが与えた後に初めて存在し始めるのだろうか、{n∈N|ϕ(n)}を定義するために？ . . . いいや、そういう人間中心的考えは捨てよう。パワーセット（集合）は全てのサブセット（部分集合）たちを包含している、私たちが各サブセット（部分集合）にフォーミュラを与えなくても: 私たちはあるサブセット（部分集合）の存在をフォーミュラを与えた後にのみ知るが、私たちがその存在を知ることがそれを存在させるわけではない: 私たちが存在を知らないものは、人間たちのなんらの助けがなくても存在できる。言い換えると、任意のサブセット（部分集合）は、存在するために、フォーミュラが存在しなければならないが、当該サブセット（部分集合）が存在するために、人間たちがそのフォーミュラを知る必要はない。

私たちがN′:={n′∈PowN|ϕ(n′)}を定義する時、ϕ(n′)は、n′がN′に属するための十分条件だが、必ずしもn′がある特定のサブセット（部分集合）であることの十分条件ではない（一般には、ϕ(n′)を満足する複数のn'たちがあり得る）、それが意味するのは、n′がある特定のサブセット（部分集合）であるためのフォーミュラは与えられていない、しかし、それにもかかわらず、n′はサブセット（部分集合）であることが保証される。

参考資料
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