パワーセット（集合）公理とサブセット（部分集合）公理の間の関係の記述
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、パワーセット（集合）公理とサブセット（部分集合）公理の間のある関係、ZFCセット（集合）理論が、任意のセット（集合）の任意の要素はセット（集合）であると規定する時、の記述を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 注
本記事内では、ZFCセット（集合）理論は、任意のセット（集合）の任意の要素はセット（集合）であると規定すると仮定する、それは、実のところ、決して必須事項ではなく、実のところ、そう規定しないいくつかの理論もある。しかし、少なくとも、主流の理論たちはそう規定しているようだ。
2: 記述
"パワーセット（集合）公理はサブセット（部分集合）公理を含意していないのか？"というのは、誰かが抱く疑問かもしれない。その人の意味するのは、"パワーセット（集合）はセット（集合）であり、パワーセット（集合）の任意の要素はセット（集合）だから、任意のサブセット（部分集合）は自動的にセット（集合）ではないのか、サブセット（部分集合）公理など無くても？"。
えーと、任意のサブセット（部分集合）は実際、セット（集合）であるはずだ、サブセット（部分集合）公理が無くても、しかし、具体的に何がそれらサブセット（部分集合）たちなのか？パワーセット（集合）公理は、もしも、あるサブセット（部分集合）があれば、それはセット（集合）であることを含意するが、どんなサブセット（部分集合）たちがあるかは語っていない。
例えば、自然数たちセット（集合）\(N\)に対して、パワーセット（集合）公理は、単に、\(Pow N\)で表わされる集合が存在し。\(Pow N\)の任意の要素は"サブセット（部分集合）"と呼ばれるセット（集合）である、と言っている。\(N\)および\(\emptyset\)が\(N\)のサブセット（部分集合）たちであると保証されているのは、サブセット（部分集合）公理を使って、\(N = \{n \in N\vert n = n\}\)および\(\emptyset = \{n \in N\vert \lnot n = n\}\)によってのみである; \(\{1, 2\}\)が\(N\)のサブセット（部分集合）であると保証されているのは、\(\{1, 2\} = \{n \in N\vert n = 1 \lor n = 2\}\)によってのみである。
それでは、あるサブセット（部分集合）は、サブセット（部分集合）公理にあるフォーミュラ\(\phi\)を私たちが与えた後に初めて存在し始めるのだろうか、\(\{n \in N\vert \phi (n)\}\)を定義するために？ . . . いいや、そういう人間中心的考えは捨てよう。パワーセット（集合）は全てのサブセット（部分集合）たちを包含している、私たちが各サブセット（部分集合）にフォーミュラを与えなくても: 私たちはあるサブセット（部分集合）の存在をフォーミュラを与えた後にのみ知るが、私たちがその存在を知ることがそれを存在させるわけではない: 私たちが存在を知らないものは、人間たちのなんらの助けがなくても存在できる。言い換えると、任意のサブセット（部分集合）は、存在するために、フォーミュラが存在しなければならないが、当該サブセット（部分集合）が存在するために、人間たちがそのフォーミュラを知る必要はない。
私たちが\(N' := \{n' \in Pow N\vert \phi (n')\}\)を定義する時、\(\phi (n')\)は、\(n'\)が\(N'\)に属するための十分条件だが、必ずしも\(n'\)がある特定のサブセット（部分集合）であることの十分条件ではない（一般には、\(\phi (n')\)を満足する複数のn'たちがあり得る）、それが意味するのは、\(n'\)がある特定のサブセット（部分集合）であるためのフォーミュラは与えられていない、しかし、それにもかかわらず、\(n'\)はサブセット（部分集合）であることが保証される。
