283: トポロジカルスペース（空間）上のシーケンスに対して、ポイントの周りに、シーケンスの有限数ポイントたちのみを包含するオープンセット（開集合）がある、もしも、どのサブシーケンスもポイントに収束しない場合

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トポロジカルスペース（空間）上のシーケンスに対して、ポイントの周りに、シーケンスの有限数ポイントたちのみを包含するオープンセット（開集合）がある、もしも、どのサブシーケンスもポイントに収束しない場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のシーケンスの定義を知っている。
• 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
• 読者は、任意のネットはトポロジカルスペース（空間）上の任意のポイントの各ネイバーフッド（近傍）内に頻繁にいる、もしも、当該ネットは当該ポイントへ収束するあるサブネットを持つ場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意のシーケンスに対して、任意のポイントの周りに、当該シーケンスの有限数ポイントたちのみを包含するオープンセット（開集合）がある、もしも、どのサブシーケンスも当該ポイントへ収束しない場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および任意のシーケンス$s:N\to T$、ここで、$N$は自然数たちセット（集合）、に対して、任意のポイント$p\in T$の周りに、$s$の有限数ポイントたちのみを包含するオープンセット（開集合）$U_p,p\in U_p$がある、もしも、$s$が$p$に収束するサブシーケンスを持たない場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$s$は$p$へ収束するサブシーケンスを持たないと仮定する。任意のシーケンスはネットであり、任意のサブシーケンスはサブネットである。任意のネットはトポロジカルスペース（空間）上の任意のポイントの各ネイバーフッド（近傍）内に頻繁にいる、もしも、当該ネットは当該ポイントへ収束するあるサブネットを持つ場合、そしてその場合に限って、という命題によって、$p$のネイバーフッド（近傍）$N_p$でその中に$s$が頻繁にはいないものがある、それが意味するのは、以下を満たすある$n\in N$、つまり、$n^{\prime }\in N,n\le n^{\prime }$で$s(n^{\prime })\in N_p$を満たすものがない、があるということ。したがって、$N_p$は最大でも$s$の$n$個のポイントたちを包含する。あるオープンセット（開集合）$U_p,p\in U_p,U_p\subseteq N_p$があって、$U_p$は$s$のより多くのポイントたちを包含しない。

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参考資料

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