トポロジカルスペース（空間）上のシーケンスに対して、ポイントの周りに、シーケンスの有限数ポイントたちのみを包含するオープンセット（開集合）がある、もしも、どのサブシーケンスもポイントに収束しない場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意のシーケンスに対して、任意のポイントの周りに、当該シーケンスの有限数ポイントたちのみを包含するオープンセット（開集合）がある、もしも、どのサブシーケンスも当該ポイントへ収束しない場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のシーケンス\(s: N \rightarrow T\)、ここで、\(N\)は自然数たちセット（集合）、に対して、任意のポイント\(p \in T\)の周りに、\(s\)の有限数ポイントたちのみを包含するオープンセット（開集合）\(U_p, p \in U_p\)がある、もしも、\(s\)が\(p\)に収束するサブシーケンスを持たない場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(s\)は\(p\)へ収束するサブシーケンスを持たないと仮定する。任意のシーケンスはネットであり、任意のサブシーケンスはサブネットである。任意のネットはトポロジカルスペース（空間）上の任意のポイントの各ネイバーフッド（近傍）内に頻繁にいる、もしも、当該ネットは当該ポイントへ収束するあるサブネットを持つ場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(p\)のネイバーフッド（近傍）\(N_p\)でその中に\(s\)が頻繁にはいないものがある、それが意味するのは、以下を満たすある\(n \in N\)、つまり、\(n' \in N, n \leq n'\)で\(s (n') \in N_p\)を満たすものがない、があるということ。したがって、\(N_p\)は最大でも\(s\)の\(n\)個のポイントたちを包含する。あるオープンセット（開集合）\(U_p, p \in U_p, U_p \subseteq N_p\)があって、\(U_p\)は\(s\)のより多くのポイントたちを包含しない。
