2023年5月21日日曜日

285: ZFCセット（集合）理論のための妥当なフォーミュラたちのいくつかのパーツたち

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ZFCセット（集合）理論のための妥当なフォーミュラたちのいくつかのパーツたちの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、ZFCセット（集合）理論のために、いくつかの表現たちは妥当なフォーミュラたちのパーツたちになれるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 注


サブセット（部分集合）公理は、\(S\)がセット（集合）である時、\(S_1: = \{s \in S\vert \phi (s, A_1, A_2, . . ., A_n)\}\)、ここで、\(A_i\)は\(S_1\)でない任意のセット（集合）であり\(\phi\)はフォーミュラと呼ばれるもの、はセット（集合）である、と述べる。なぜ\(A_i\)が\(S_1\)であることが許されないかという理由は、さもないと、\(\phi (s, S_1) = s \in S_1\)が許されることになるが、それは、何が\(S_1\)の中にいるかを実のところ決定しないだろう。同様に、リプレイスメント（置換）公理にはフォーミュラが関係する。

\(A_i\)は外部で決定されていることに注意しよう、それが意味するのは、\(A_i\)は\(s\)に基づいて構築することはできない。例えば、\(A_i\)は、\(A_2 = A_1 \cap s\)や\(A_2 = \{a \in s\vert a \gt 2\}\)のようにはできない。

ZFCセット（集合）理論における任意のフォーミュラは妥当でなければならない、それが意味するのは、フォーミュラは、引数に指定されたセット（集合）たち、当該フォーミュラ内で妥当に定義された他のセット（集合）変数たち、\(\in, =, \forall, \exists, \land, \lor, \lnot, \implies, \iff\)、および(~)（曖昧さを避けるために）、ここで、任意の'当該フォーミュラ内で妥当に定義された他のセット（集合）変数'は\(\exists p \text{ } \psi (p, . . .)\)または\(\forall p \text{ } \psi (p, . . .)\)、ここで、\(\psi (p, . . .)\)は妥当なパーツ、のみを使う。'妥当なセット（集合）変数'は、引数変数か当該フォーミュラ内で妥当に定義された他のセット（集合）変数を意味するものとしよう、これ以降。

'\(\exists p \text{ } p \in \{. . .\}\)'、ここで、\(\{. . .\}\)はあるセット（集合）、のような表現が妥当なフォーミュラのパーツであるか否かはそう明らかではない、なぜなら、\(\{~\}\)は、定義上、妥当なフォーミュラたちの中で使用可能であると宣言されていないから: \(\{. . .\}\)がセット（集合）であるというのは十分ではない; それは認定された要素たちのみを用いて妥当に表現されなければならない。

しかし、\(\exists p \text{ } p = \{. . .\}\)のような表現が妥当であるとひと度確認されれば、それ以降、\(p\)が\(\{. . .\}\)を代表して使用できる。それが、私たちはそうした表現たちを'記述'たちで取り扱う理由である。

そうしたフォーミュラへのその要件が制限的にすぎる（そして恣意的にすぎる）と思われるのであれば、私の理解では、ZFC理論は、安全にセット（集合）と呼べるものたちをリストしているだけであり、妥当なフォーミュラで表現できないものはセット（集合）ではあり得ないと言っているわけではない（その点についての私の考えを論じた記事がある）。いずれにせよ、私たちは、本記事では、ZFC理論が保証するものたちだけに限定する。

2: 記述1


任意の妥当なセット（集合）変数\(p\)および任意の表現\(e\)に対して、もしも、\(p \in e\)が妥当である場合、\(p = e\)、ここで、\(e\)は例えば、\(\{s \in S\vert \phi (s, . . .)\}\)、は妥当である。

他方では、もしも、\(p = e\)が妥当であれば、\(p \in e\)は妥当である。

実のところ、もしも、\(p = e\)が妥当であれば、\(e \in p\)は妥当である。

さらに、もしも、\(p = e\)および\(p = e'\)が妥当であれば、\(e \in e'\)および\(e = e'\)は妥当である。

したがって、以降の'記述'たちの中で、もしも、ある1つの形が記述されたら、他の形たちも含意される、言及されなくても。

3: 証明1


\(p \in e\)は妥当であると仮定しよう。\(p = e\)は、\((\forall p' \in p, p' \in e) \land (\forall p' \in e, p' \in p)\)、しかし、\(p' \in e\)は妥当なパーツである。

\(p = e\)は妥当であると仮定しよう。\(p \in e\)は、\(\exists p' = e, p \in p'\)である、しかし、\(p' = e\)は妥当なパーツである。

\(p = e\)は妥当であると仮定しよう。\(e \in p\)は、\(\exists p' = e, p' \in p\)。

\(p = e\)および\(p = e'\)は妥当であると仮定しよう。\(e \in e'\)は、\(\exists p = e, \exists p' = e', p \in p'\)。\(e = e'\)は、\(\exists p = e, \exists p' = e', p = p'\)。

4: 記述2


任意の妥当なセット（集合）変数\(p\)、以下を満たす任意の表現\(\phi_1 (...)\)、つまり、\(s \in \phi_1 (...)\)は妥当である、ここで、\(s\)は任意の妥当なセット（集合）変数、任意の妥当な表現\(\phi_2 (s, . . .)\)に対して、\(p \in \{s \in \phi_1 (...)\vert \phi_2 (s, . . .)\}\)は妥当である。

5: 証明2


\(p \in \{s \in \phi_1 (...)\vert \phi_2 (s, . . .)\}\)は\((p \in \phi_1 (...)) \land \phi_2 (p, . . .)\)である。

6: 記述3


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, S_1, S_2, . . ., S_n\)に対して、\(p \in \{S_1, S_2, . . ., S_n\}\)は妥当である。

7: 証明3


\(p \in \{S_1, S_2, . . ., S_n\}\)は、\((p = S_1) \lor (p = S_2) \lor . . . \lor (p = S_n)\)。

8: 記述4


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, S_1, S_2\)に対して、\(p \in \langle S_1, S_2 \rangle\)は妥当である。

9: 証明4


\(\langle S_1, S_2 \rangle\)は\(\{S_1, \{S_1, S_2\}\}\)である。\(p \in \{S_1, \{S_1, S_2\}\}\)は\((p = S_1) \lor (p = \{S_1, S_2\})\)であり、\(p = \{S_1, S_2\}\)は妥当である、'記述3'および'記述1'によって。

10: 記述5


任意のセット（集合）変数たち\(p, S\)に対して、\(p \in Pow (S)\)、ここで、\(Pow (\bullet)\)は引数のパワーセット（集合）を意味する、は妥当である。

11: 証明5


\(p \in Pow (S)\)は\(p \subseteq S\)である、したがって、妥当である。

12: 記述6


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, S_1, S_2, . . ., S_n\)に対して、\(p \in S_1 \times S_2 \times . . . \times S_n\)は妥当である。

13: 証明6


任意の有限数のセット（集合）たちのプロダクトはセット（集合）であるという命題の証明に示されているとおり、\(S_1 \times S_2 = \{s \in Pow (Pow (S_1 \cup S_2))\vert \exists s_1 \in S_1, \exists s_2 \in S_2, s = \langle s_1, s_2 \rangle\}\)。しかし、\(s \in Pow (Pow (S_1 \cup S_2))\)は\((\exists s' = Pow (S_1 \cup S_2)) \land (s \in Pow s')\)であり妥当である、なぜなら、\(s' = Pow (S_1 \cup S_2)\)および\(s \in Pow s'\)は妥当であるから、'記述5'および’記述1’によって。\(s = \langle \bullet, \bullet \rangle\)は妥当である、'記述4'および'記述1'によって。すると、\(p \in S_1 \times S_2\)は妥当である、'記述2'によって。

\(p \in S_1 \times S_2 \times S_3\)は\((\exists p' = (S_1 \times S_2)) \land (p \in (p' \times S_3))\)、それは妥当である、前パラグラフおよび'記述1'によって、等々。

14: 記述7


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, S_1, S_2\)に対して、'\(p\)は\(S_1\)から\(S_2\)へのリレーション（関係）である'は妥当である。

15: 証明7


'\(p\)は\(S_1\)から\(S_2\)へのリレーション（関係）である'は\(p \in Pow (S_1 \times S_2)\)、それは、\((\exists p' = S_1 \times S_2) \land (p \in Pow p')\)である。\(p' = S_1 \times S_2\)および\(p \in Pow p'\)は妥当である、'記述'たち5、6、1によって。

16: 記述8


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, S_1, S_2\)に対して、'\(p\)は\(S_1\)から\(S_2\)へのファンクション（関数）である'は妥当である。

17: 証明8


全てのそうしたあり得るファンクション（関数）たちのセット（集合）は\(F = \{f \in Pow (S_1 \times S_2)\vert (\forall s_1 \in S_1, \exists s_2 \in S_2, \langle s_1, s_2 \rangle \in f) \land ((\exists s_1 \in S_1, \exists s_2 \in S_2, \exists {s_2}' \in S_2, (\langle s_1, s_2 \rangle \in f) \land (\langle s_1, {s_2}' \rangle \in f)) \implies (s_2 = {s_2}'))\}\)である。したがって、\(p \in F\)、それは、'\(p\)は\(S_1\)から\(S_2\)へのファンクション（関数）である'である、は妥当である、'記述'たち1、2、4、5、6によって。

18: 記述9


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, f, S_1, S_2, S_3\)、ここで、\(f\)はファンクション（関数）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、に対して、\(p \in f\vert S_3\)、ここで、\(f\vert S_3\)は\(f\)のリストリクション（制限）、は妥当である。

19: 証明9


\(f\vert_{S_3} = \{s \in f\vert \exists s_3 \in S_3, \exists s_2 \in S_2, s = \langle s_3, s_2 \rangle\}\)。したがって、\(p \in f\vert S_3\)は妥当である、'記述'たち1、2、4によって。

20: 記述10


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, f, S\)、ここで、\(f\)はファンクション（関数）、に対して、\(p = f (S)\)は妥当である、\(S\)は\(f\)のドメイン（定義域）のメンバーである時。

21: 証明10


\(p = f (S)\)は\(\exists p' \in f, p' = \langle S, p \rangle\)、それは、妥当である、'記述'たち1、4によって。

22: 記述11


任意の妥当な集合変数たち\(p, S\)、任意のオーダリング（順序）\(\lt\)で\(p\)と\(S\)に適用できるものに対して、\(p \lt S\)または\(p \leq S\)は妥当である、もしも、当該オーダリング（順序）が妥当に定義されている、それが意味するのは、オーダリング（順序）は実際にはリレーション（関係）（それはセット（集合）である）であるので、当該リレーション（関係）は妥当なセット（集合）変数として表わすことができなければならないということ、場合。

23: 証明11


\(\lt\)は実際にはリレーション（関係）\(R\)であるので、\(p \lt S\)または\(p \leq S\)はそれぞれ\(\langle p, S \rangle \in R\)または\(\langle p, S \rangle \in R \lor p = S\)、それは、記述4によって妥当である。

24: 記述12


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, f\)、ここで、\(f\)はファンクション（関数）、に対して、\(p \in img (f)\)、ここで、\(img (\bullet)\)は引数のイメージ（像）、は妥当である。

25: 証明12


\(p \in img (f)\)は\(\exists p', \langle p', p \rangle \in f\)、それは、記述4によって妥当である。

26: 記述13


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, f\)、ここで、\(f\)はファンクション（関数）、に対して、\(p \in dom (f)\)、ここで、\(dom (\bullet)\)は引数のドメイン（定義域）、は妥当である。

27: 証明13


\(p \in dom (f)\)は\(\exists p', \langle p, p' \rangle \in f\)、それは、記述4によって妥当、である。

28: 記述14


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, S, s\)、ここで、\(s \in S\)、任意のオーダリング（順序）\(\lt\)に対して、\(p \in seg (S, \lt, s)\)、それは、\(S\)の\(\lt\)および\(s\)に関するイニシャルセグメント、は妥当である。

29: 証明14


\(p \in seg (S, \lt, s)\)は\(p \in \{p' \in S\vert p' \lt s\}\)、それは、記述たち2および11によって妥当である。

30: 記述15


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(\lt, S\)に対して、'\(\lt\)は\(S\)上のリニア（線形）オーダリング（順序）である'は妥当である。

31: 証明15


'\(\lt\)は\(S\)上のリニア（線形）オーダリング（順序）である'は\(\lt \in Pow (S \times S) \land \forall s_1, s_2, s_3 \in S (\langle s_1, s_2 \rangle \in \lt \land \langle s_2, s_3 \rangle \in \lt) \langle s_1, s_3 \rangle \in \lt \land \forall s_1 \in S, \langle s_1, s_1 \rangle \notin \lt \land \forall s_1 \in S (\forall s_2 \in S, \lnot s_1 = s_2) ((\langle s_1, s_2 \rangle \in \lt \lor \langle s_2, s_1 \rangle \in \lt) \land \lnot (\langle s_1, s_2 \rangle \in \lt \land \langle s_2, s_1 \rangle \in \lt))\)。

32: 記述16


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(\lt, S\)に対して、'\(\lt\)は\(S\)上のウェルオーダリング（整列順序）である'は妥当である。

33: 証明16


'\(\lt\)は\(S\)上のウェルオーダリング（整列順序）である'は'\(\lt\)は\(S\)上のリニア（線形）オーダリング（順序）である' \(\land \forall S' \subseteq S (\exists m \in S' (\forall s \in S' (\lnot m = s), \langle m, s \rangle \in \lt)\)。

34: 記述17


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(f, S_1, S_2\)に対して、'\(f\)は\(S_1\)から\(S_2\)の中へのインジェクティブ（単射）ファンクション（関数）である'は妥当である。

35: 証明17


'\(f\)は\(S_1\)から\(S_2\)の中へのインジェクティブ（単射）ファンクション（関数）である'は'\(f\)は\(S_1\)から\(S_2\)の中へのファンクション（関数）である' \(\land (\forall p_1 \in S_1 (\forall p_2 \in S_1, \lnot p_2 = p_1) (\exists p_3 \in S_2, \langle p_1, p_3 \rangle \in f, \exists p_4 \in S_2, \langle p_2, p_4 \rangle \in f, \lnot p_3 = p_4))\). 注意として、\(f\)はファンクション（関数）であるという条件は指定済なので、ユニークな\(p_3\)および\(p_4\)があることは保証されている、したがって、もしも、見つかった\(p_3\)および\(p_4\)が\(\lnot p_3 = p_4\)を満たしていれば、オーケーである。

36: 記述18


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(f, S_1, S_2\)に対して、'\(f\)は\(S_1\)から\(S_2\)の上へのサージェクティブ（全射）ファンクション（関数）である'は妥当である。

37: 証明18


'\(f\)は\(S_1\)から\(S_2\)の上へのサージェクティブ（全射）ファンクション（関数）である'は'\(f\)は\(S_1\)から\(S_2\)の中へのファンクション（関数）である' \(\land \forall p_2 \in S_2, \exists p_1 \in S_1, \langle p_1, p_2 \rangle \in f\)。

38: 記述19


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(f, S_1, S_2\)に対して、'\(f\)は\(S_1\)から\(S_2\)の上へのバイジェクティブ（全単射）ファンクション（関数）である'は妥当である。

39: 証明19


'\(f\)は\(S_1\)から\(S_2\)の上へのバイジェクティブ（全単射）ファンクション（関数）である'は'\(f\)は\(S_1\)から\(S_2\)の中へのインジェクティブ（単射）ファンクション（関数）である' \(\land\) '\(f\)は\(S_1\)から\(S_2\)の上へのサージェクティブ（全射）ファンクション（関数）である'である。

40: 記述20


任意の妥当なセット（集合）変数たち\(p, S\)に対して、'\(p\)は\(S\)とイクイニューメラス（同数）である'、\(p \approx S\)と記される、は妥当である。

41: 証明20


\(p \approx S\)は'\(\exists p', p'\)は\(p\)から\(S\)の上へのバイジェクティブ（全単射）ファンクション（関数）である'である。

42: 記述21


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）\(p\)に対して、'\(p\)はオーディナルナンバー（順序数）である'は妥当である。

43: 証明21


'\(p\)はオーディナルナンバー（順序数）である'は\(\exists S, \exists \lt\), '\(\lt\)は\(S\)上のウェルオーダリング（整列順序）である', '\(p\)は\((S, \lt)\)の\(\epsilon\)イメージ（像）である'。'\(p\)は\((S, \lt)\)の\(\epsilon\)イメージ（像）である'は\(\exists S_1, (\exists f\), '\(f\)は\(S\)から\(S_1\)へのファンクション（関数）である', \(\forall s \in S, f (s) = \{s' \in S_1\vert \exists s'' \lt s, s' = f (s'')\})\) \(p = img f\)。

44: 記述22


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）たち\(p, S\)に対して、'\(p\)は\(S\)のカーディナルナンバー（基数）である'は妥当である。

45: 証明22


'\(p\)は\(S\)のカーディナルナンバー（基数）である'は'\(p\)は\(S\)へイクイニューメラス（同数要素たちを持つ）な最小オーディナルナンバー（順序数）である'である、それは、'\(p\)はオーディナルナンバー（順序数）である' \(\land\) \(p \approx S\) \(\land (\forall p', 'p'\)はオーディナルナンバー（順序数）である', \(p' \approx S, \lnot p' = p) p \lt p'\)。

46: 記述23


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）\(p\)に対して、'\(p\)はカーディナルナンバー（基数）である'は妥当である。

47: 証明23


'\(p\)はカーディナルナンバー（基数）である'は\(\exists S, 'p\)は\(S\)のカーディナルナンバー（基数）である'である。

48: 記述24


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）\(S\)、任意のネット\(n: D \rightarrow T\)、ここで、\(D\)は任意のダイレクテッド（有向）セット（集合）で\(T\)は任意のトポロジカルスペース（空間）、に対して、'\(n\)はフリークエントリーに（頻繁に）\(S\)の中に入る'は妥当である。

49: 証明24


'\(n\)フリークエントリーに（頻繁に）\(S\)の中に入る'は\(\forall d \in D (\exists d' \in D, d \leq d') n (d') \in S\)。

50: 記述25


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）\(S\)、任意のネット\(n: D \rightarrow T\)、ここで、\(D\)は任意のダイレクテッド（有向）セット（集合）で\(T\)は任意のトポロジカルスペース（空間）、に対して、'\(n\)はイベンチュアリーに（その内には）\(S\)の中に入る'は妥当である。

51: 証明25


'\(n\)はイベンチュアリーに（その内には）\(S\)の中に入る'は\(\exists d \in D (\forall d' \in D, d \leq d') n (d') \in S\)。

52: 記述26


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）たち\(p, S_1, S_2, . . ., S_n\)に対して、\(p \in S_1 \cup S_2 \cup . . . \cup S_n\)は妥当である。

53: 証明26


'\(p \in S_1 \cup S_2 \cup . . . \cup S_n\)'は'\(p \in S_1 \lor p \in S_2 \lor . . . \lor p \in S_n'\)である。

54: 記述27


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）たち\(p, S\)、任意の妥当なファンクション（関数）バリアブル（変数）\(f\)に対して、'\(p \in \cup_{\forall s \in S} f (s)\)'は妥当である。

55: 証明27


'\(p \in \cup_{\forall s \in S} f (s)\)'は'\(\exists s \in S, p \in f (s)\)'である。

56: 記述28


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）\(p\)、任意のオーディナルナンバー（順序数）バリアブル（変数）\(o\)に対して、\(p \in V_o\)、ここで、\(V_o\)は\(V_0 = \emptyset, V_o = \cup_{o' \in o} Pow V_{o'}\)で定義されたセット（集合）たちセット（集合）を意味する、は妥当である。

57: 証明28


'\(p \in V_o\)'は'\(\exists \delta, '\delta\text{ はオーディナルナンバー（順序数）である' }, o \in \delta, \exists S, \exists V, '\text{Vは}\delta\text{ から }S\text{ へのファンクション（関数）である }', \forall \alpha \in \delta, V (\alpha) = \cup_{{\alpha}' \in \alpha} Pow V ({\alpha}'), p \in V (o)\)'。

58: 記述29


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）\(p\)に対して、'\(p\)はグラウンデッドである（接地している）'は妥当である。

59: 証明29


'\(p\)はグラウンデッドである（接地している）'は'\(\exists o, o \text{ はオーディナルナンバー（順序数）である }', p \subseteq V_o\)である。

60: 記述30


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）たち\(p, S\)に対して、'\(p = rank S\)'は妥当である。

61: 証明30


'\(p = rank S\)' is '\(p \text{ はオーディナルナンバー（順序数）である } \land S \subseteq V_p \land \lnot (\exists o \in p, S \subseteq V_o)\)'。

62: 記述31


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）たち\(p, S\)に対して、'\(p \notin S\)'は妥当である。

63: 証明31


'\(p \notin S\)'は'\(\lnot p \in S\)'である。

64: 記述32


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）\(S\)に対して、'\(S\)は\(\mathbb{R}\)上のオープンインターバル（開区間）である'は妥当である。

65: 証明32


'\(S\)は\(\mathbb{R}\)上のオープンインターバル（開区間）である'は'\(\exists p_1, p_2 (p_1, p_2 \in \mathbb{R} \land p_1, p_2 \notin S \land p_1 \le p_2 \land \forall p_3 \in \mathbb{R} (p_3 \in S \iff p_1 \lt p_3 \lt p_2))\)'。

66: 記述33


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）\(S\)に対して、'\(S\)は\(\mathbb{R}\)上のクローズドインターバル（閉区間）である'は妥当である。

67: 証明33


'\(S\)は\(\mathbb{R}\)上のクローズドインターバル（閉区間）である'は'\(\exists p_1, p_2 (p_1, p_2 \in \mathbb{R} \land p_1, p_2 \in S \land p_1 \le p_2 \land \forall p_3 \in \mathbb{R} (p_3 \in S \iff p_1 \le p_3 \le p_2))\)'。

68: 記述34


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）\(S\)に対して、'\(S\)は\(\mathbb{R}\)上のレフト（左）オープン（開）ライト（右）クローズド（閉）インターバル（区間）である'は妥当である。

69: 証明34


'\(S\)は\(\mathbb{R}\)上のレフト（左）オープン（開）ライト（右）クローズド（閉）インターバル（区間）である'は'\(\exists p_1, p_2 (p_1, p_2 \in \mathbb{R} \land p_1 \notin S \land p_2 \in S \land p_1 \le p_2 \land \forall p_3 \in \mathbb{R} (p_3 \in S \iff p_1 \lt p_3 \le p_2))\)'である。

70: 記述35


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）\(S\)に対して、'\(S\)は\(\mathbb{R}\)上のレフト（左）クローズド（閉）ライト（右）オープン（開）インターバル（区間）である'は妥当である。

71: 証明35


'\(S\)は\(\mathbb{R}上のレフト（左）クローズド（閉）ライト（右）オープン（開）インターバル（区間）である\)'は'\(\exists p_1, p_2 (p_1, p_2 \in \mathbb{R} \land p_1 \in S \land p_2 \notin S \land p_1 \le p_2 \land \forall p_3 \in \mathbb{R} (p_3 \in S \iff p_1 \le p_3 \lt p_2))\)'である。

72: 注


私が読んだ全てのテキストブックたち（この世の中の全てのテキストブックたちとは私は言わない）は"任意のフォーミュラは妥当でなければならない。"のように述べ、どのように妥当であるのかそれほど明らかでない（少なくとも私には）フォーミュラたちを提示し出す。例えば、それらは\(\{. . .\}\)を使いだす、それは基本的コンポーネントではないが。

したがって、妥当なフォーミュラたちの中でどのコンポーネントたちが安全に使えるかをリストしなければならなかった。

勿論、上記にリストされたものたちは、私がこれまでに特に気付いたものたちだけである。

参考資料
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