2023年5月21日日曜日

285: ZFCセット（集合）理論のための妥当なフォーミュラたちのいくつかのパーツたち

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ZFCセット（集合）理論のための妥当なフォーミュラたちのいくつかのパーツたちの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、ZFCセット（集合）理論のために、いくつかの表現たちは妥当なフォーミュラたちのパーツたちになれるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 注


サブセット（部分集合）公理は、Sがセット（集合）である時、S1:={s∈S|ϕ(s,A1,A2,...,An)}、ここで、AiはS1でない任意のセット（集合）でありϕはフォーミュラと呼ばれるもの、はセット（集合）である、と述べる。なぜAiがS1であることが許されないかという理由は、さもないと、ϕ(s,S1)=s∈S1が許されることになるが、それは、何がS1の中にいるかを実のところ決定しないだろう。同様に、リプレイスメント（置換）公理にはフォーミュラが関係する。

Aiは外部で決定されていることに注意しよう、それが意味するのは、Aiはsに基づいて構築することはできない。例えば、Aiは、A2=A1∩sやA2={a∈s|a>2}のようにはできない。

ZFCセット（集合）理論における任意のフォーミュラは妥当でなければならない、それが意味するのは、フォーミュラは、引数に指定されたセット（集合）たち、当該フォーミュラ内で妥当に定義された他のセット（集合）変数たち、∈,=,∀,∃,∧,∨,¬,⟹,⟺、および(~)（曖昧さを避けるために）、ここで、任意の'当該フォーミュラ内で妥当に定義された他のセット（集合）変数'は∃p ψ(p,...)または∀p ψ(p,...)、ここで、ψ(p,...)は妥当なパーツ、のみを使う。'妥当なセット（集合）変数'は、引数変数か当該フォーミュラ内で妥当に定義された他のセット（集合）変数を意味するものとしよう、これ以降。

'∃p p∈{...}'、ここで、{...}はあるセット（集合）、のような表現が妥当なフォーミュラのパーツであるか否かはそう明らかではない、なぜなら、{ }は、定義上、妥当なフォーミュラたちの中で使用可能であると宣言されていないから: {...}がセット（集合）であるというのは十分ではない; それは認定された要素たちのみを用いて妥当に表現されなければならない。

しかし、∃p p={...}のような表現が妥当であるとひと度確認されれば、それ以降、pが{...}を代表して使用できる。それが、私たちはそうした表現たちを'記述'たちで取り扱う理由である。

そうしたフォーミュラへのその要件が制限的にすぎる（そして恣意的にすぎる）と思われるのであれば、私の理解では、ZFC理論は、安全にセット（集合）と呼べるものたちをリストしているだけであり、妥当なフォーミュラで表現できないものはセット（集合）ではあり得ないと言っているわけではない（その点についての私の考えを論じた記事がある）。いずれにせよ、私たちは、本記事では、ZFC理論が保証するものたちだけに限定する。

2: 記述1


任意の妥当なセット（集合）変数pおよび任意の表現eに対して、もしも、p∈eが妥当である場合、p=e、ここで、eは例えば、{s∈S|ϕ(s,...)}、は妥当である。

他方では、もしも、p=eが妥当であれば、p∈eは妥当である。

実のところ、もしも、p=eが妥当であれば、e∈pは妥当である。

さらに、もしも、p=eおよびp=e′が妥当であれば、e∈e′およびe=e′は妥当である。

したがって、以降の'記述'たちの中で、もしも、ある1つの形が記述されたら、他の形たちも含意される、言及されなくても。

3: 証明1


p∈eは妥当であると仮定しよう。p=eは、(∀p′∈p,p′∈e)∧(∀p′∈e,p′∈p)、しかし、p′∈eは妥当なパーツである。

p=eは妥当であると仮定しよう。p∈eは、∃p′=e,p∈p′である、しかし、p′=eは妥当なパーツである。

p=eは妥当であると仮定しよう。e∈pは、∃p′=e,p′∈p。

p=eおよびp=e′は妥当であると仮定しよう。e∈e′は、∃p=e,∃p′=e′,p∈p′。e=e′は、∃p=e,∃p′=e′,p=p′。

4: 記述2


任意の妥当なセット（集合）変数p、以下を満たす任意の表現ϕ1(...)、つまり、s∈ϕ1(...)は妥当である、ここで、sは任意の妥当なセット（集合）変数、任意の妥当な表現ϕ2(s,...)に対して、p∈{s∈ϕ1(...)|ϕ2(s,...)}は妥当である。

5: 証明2


p∈{s∈ϕ1(...)|ϕ2(s,...)}は(p∈ϕ1(...))∧ϕ2(p,...)である。

6: 記述3


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,S1,S2,...,Snに対して、p∈{S1,S2,...,Sn}は妥当である。

7: 証明3


p∈{S1,S2,...,Sn}は、(p=S1)∨(p=S2)∨...∨(p=Sn)。

8: 記述4


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,S1,S2に対して、p∈⟨S1,S2⟩は妥当である。

9: 証明4


⟨S1,S2⟩は{S1,{S1,S2}}である。p∈{S1,{S1,S2}}は(p=S1)∨(p={S1,S2})であり、p={S1,S2}は妥当である、'記述3'および'記述1'によって。

10: 記述5


任意のセット（集合）変数たちp,Sに対して、p∈Pow(S)、ここで、Pow(∙)は引数のパワーセット（集合）を意味する、は妥当である。

11: 証明5


p∈Pow(S)はp⊆Sである、したがって、妥当である。

12: 記述6


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,S1,S2,...,Snに対して、p∈S1×S2×...×Snは妥当である。

13: 証明6


任意の有限数のセット（集合）たちのプロダクトはセット（集合）であるという命題の証明に示されているとおり、S1×S2={s∈Pow(Pow(S1∪S2))|∃s1∈S1,∃s2∈S2,s=⟨s1,s2⟩}。しかし、s∈Pow(Pow(S1∪S2))は(∃s′=Pow(S1∪S2))∧(s∈Pows′)であり妥当である、なぜなら、s′=Pow(S1∪S2)およびs∈Pows′は妥当であるから、'記述5'および’記述1’によって。s=⟨∙,∙⟩は妥当である、'記述4'および'記述1'によって。すると、p∈S1×S2は妥当である、'記述2'によって。

p∈S1×S2×S3は(∃p′=(S1×S2))∧(p∈(p′×S3))、それは妥当である、前パラグラフおよび'記述1'によって、等々。

14: 記述7


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,S1,S2に対して、'pはS1からS2へのリレーション（関係）である'は妥当である。

15: 証明7


'pはS1からS2へのリレーション（関係）である'はp∈Pow(S1×S2)、それは、(∃p′=S1×S2)∧(p∈Powp′)である。p′=S1×S2およびp∈Powp′は妥当である、'記述'たち5、6、1によって。

16: 記述8


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,S1,S2に対して、'pはS1からS2へのファンクション（関数）である'は妥当である。

17: 証明8


全てのそうしたあり得るファンクション（関数）たちのセット（集合）はF={f∈Pow(S1×S2)|(∀s1∈S1,∃s2∈S2,⟨s1,s2⟩∈f)∧((∃s1∈S1,∃s2∈S2,∃s2′∈S2,(⟨s1,s2⟩∈f)∧(⟨s1,s2′⟩∈f))⟹(s2=s2′))}である。したがって、p∈F、それは、'pはS1からS2へのファンクション（関数）である'である、は妥当である、'記述'たち1、2、4、5、6によって。

18: 記述9


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,f,S1,S2,S3、ここで、fはファンクション（関数）f:S1→S2、に対して、p∈f|S3、ここで、f|S3はfのリストリクション（制限）、は妥当である。

19: 証明9


f|S3={s∈f|∃s3∈S3,∃s2∈S2,s=⟨s3,s2⟩}。したがって、p∈f|S3は妥当である、'記述'たち1、2、4によって。

20: 記述10


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,f,S、ここで、fはファンクション（関数）、に対して、p=f(S)は妥当である、Sはfのドメイン（定義域）のメンバーである時。

21: 証明10


p=f(S)は∃p′∈f,p′=⟨S,p⟩、それは、妥当である、'記述'たち1、4によって。

22: 記述11


任意の妥当な集合変数たちp,S、任意のオーダリング（順序）<でpとSに適用できるものに対して、p<Sまたはp≤Sは妥当である、もしも、当該オーダリング（順序）が妥当に定義されている、それが意味するのは、オーダリング（順序）は実際にはリレーション（関係）（それはセット（集合）である）であるので、当該リレーション（関係）は妥当なセット（集合）変数として表わすことができなければならないということ、場合。

23: 証明11


<は実際にはリレーション（関係）Rであるので、p<Sまたはp≤Sはそれぞれ⟨p,S⟩∈Rまたは⟨p,S⟩∈R∨p=S、それは、記述4によって妥当である。

24: 記述12


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,f、ここで、fはファンクション（関数）、に対して、p∈img(f)、ここで、img(∙)は引数のイメージ（像）、は妥当である。

25: 証明12


p∈img(f)は∃p′,⟨p′,p⟩∈f、それは、記述4によって妥当である。

26: 記述13


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,f、ここで、fはファンクション（関数）、に対して、p∈dom(f)、ここで、dom(∙)は引数のドメイン（定義域）、は妥当である。

27: 証明13


p∈dom(f)は∃p′,⟨p,p′⟩∈f、それは、記述4によって妥当、である。

28: 記述14


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,S,s、ここで、s∈S、任意のオーダリング（順序）<に対して、p∈seg(S,<,s)、それは、Sの<およびsに関するイニシャルセグメント、は妥当である。

29: 証明14


p∈seg(S,<,s)はp∈{p′∈S|p′<s}、それは、記述たち2および11によって妥当である。

30: 記述15


任意の妥当なセット（集合）変数たち<,Sに対して、'<はS上のリニア（線形）オーダリング（順序）である'は妥当である。

31: 証明15


'<はS上のリニア（線形）オーダリング（順序）である'は<∈Pow(S×S)∧∀s1,s2,s3∈S(⟨s1,s2⟩∈<∧⟨s2,s3⟩∈<)⟨s1,s3⟩∈<∧∀s1∈S,⟨s1,s1⟩∉<∧∀s1∈S(∀s2∈S,¬s1=s2)((⟨s1,s2⟩∈<∨⟨s2,s1⟩∈<)∧¬(⟨s1,s2⟩∈<∧⟨s2,s1⟩∈<))。

32: 記述16


任意の妥当なセット（集合）変数たち<,Sに対して、'<はS上のウェルオーダリング（整列順序）である'は妥当である。

33: 証明16


'<はS上のウェルオーダリング（整列順序）である'は'<はS上のリニア（線形）オーダリング（順序）である' ∧∀S′⊆S(∃m∈S′(∀s∈S′(¬m=s),⟨m,s⟩∈<)。

34: 記述17


任意の妥当なセット（集合）変数たちf,S1,S2に対して、'fはS1からS2の中へのインジェクティブ（単射）ファンクション（関数）である'は妥当である。

35: 証明17


'fはS1からS2の中へのインジェクティブ（単射）ファンクション（関数）である'は'fはS1からS2の中へのファンクション（関数）である' ∧(∀p1∈S1(∀p2∈S1,¬p2=p1)(∃p3∈S2,⟨p1,p3⟩∈f,∃p4∈S2,⟨p2,p4⟩∈f,¬p3=p4)). 注意として、fはファンクション（関数）であるという条件は指定済なので、ユニークなp3およびp4があることは保証されている、したがって、もしも、見つかったp3およびp4が¬p3=p4を満たしていれば、オーケーである。

36: 記述18


任意の妥当なセット（集合）変数たちf,S1,S2に対して、'fはS1からS2の上へのサージェクティブ（全射）ファンクション（関数）である'は妥当である。

37: 証明18


'fはS1からS2の上へのサージェクティブ（全射）ファンクション（関数）である'は'fはS1からS2の中へのファンクション（関数）である' ∧∀p2∈S2,∃p1∈S1,⟨p1,p2⟩∈f。

38: 記述19


任意の妥当なセット（集合）変数たちf,S1,S2に対して、'fはS1からS2の上へのバイジェクティブ（全単射）ファンクション（関数）である'は妥当である。

39: 証明19


'fはS1からS2の上へのバイジェクティブ（全単射）ファンクション（関数）である'は'fはS1からS2の中へのインジェクティブ（単射）ファンクション（関数）である' ∧ 'fはS1からS2の上へのサージェクティブ（全射）ファンクション（関数）である'である。

40: 記述20


任意の妥当なセット（集合）変数たちp,Sに対して、'pはSとイクイニューメラス（同数）である'、p≈Sと記される、は妥当である。

41: 証明20


p≈Sは'∃p′,p′はpからSの上へのバイジェクティブ（全単射）ファンクション（関数）である'である。

42: 記述21


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）pに対して、'pはオーディナルナンバー（順序数）である'は妥当である。

43: 証明21


'pはオーディナルナンバー（順序数）である'は∃S,∃<, '<はS上のウェルオーダリング（整列順序）である', 'pは(S,<)のϵイメージ（像）である'。'pは(S,<)のϵイメージ（像）である'は∃S1,(∃f, 'fはSからS1へのファンクション（関数）である', ∀s∈S,f(s)={s′∈S1|∃s″<s,s′=f(s″)}) p=imgf。

44: 記述22


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）たちp,Sに対して、'pはSのカーディナルナンバー（基数）である'は妥当である。

45: 証明22


'pはSのカーディナルナンバー（基数）である'は'pはSへイクイニューメラス（同数要素たちを持つ）な最小オーディナルナンバー（順序数）である'である、それは、'pはオーディナルナンバー（順序数）である' ∧ p≈S ∧(∀p′,′p′はオーディナルナンバー（順序数）である', p′≈S,¬p′=p)p<p′。

46: 記述23


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）pに対して、'pはカーディナルナンバー（基数）である'は妥当である。

47: 証明23


'pはカーディナルナンバー（基数）である'は∃S,′pはSのカーディナルナンバー（基数）である'である。

48: 記述24


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）S、任意のネットn:D→T、ここで、Dは任意のダイレクテッド（有向）セット（集合）でTは任意のトポロジカルスペース（空間）、に対して、'nはフリークエントリーに（頻繁に）Sの中に入る'は妥当である。

49: 証明24


'nフリークエントリーに（頻繁に）Sの中に入る'は∀d∈D(∃d′∈D,d≤d′)n(d′)∈S。

50: 記述25


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）S、任意のネットn:D→T、ここで、Dは任意のダイレクテッド（有向）セット（集合）でTは任意のトポロジカルスペース（空間）、に対して、'nはイベンチュアリーに（その内には）Sの中に入る'は妥当である。

51: 証明25


'nはイベンチュアリーに（その内には）Sの中に入る'は∃d∈D(∀d′∈D,d≤d′)n(d′)∈S。

52: 記述26


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）たちp,S1,S2,...,Snに対して、p∈S1∪S2∪...∪Snは妥当である。

53: 証明26


'p∈S1∪S2∪...∪Sn'は'p∈S1∨p∈S2∨...∨p∈Sn′である。

54: 記述27


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）たちp,S、任意の妥当なファンクション（関数）バリアブル（変数）fに対して、'p∈∪∀s∈Sf(s)'は妥当である。

55: 証明27


'p∈∪∀s∈Sf(s)'は'∃s∈S,p∈f(s)'である。

56: 記述28


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）p、任意のオーディナルナンバー（順序数）バリアブル（変数）oに対して、p∈Vo、ここで、VoはV0=∅,Vo=∪o′∈oPowVo′で定義されたセット（集合）たちセット（集合）を意味する、は妥当である。

57: 証明28


'p∈Vo'は'∃δ,′δ はオーディナルナンバー（順序数）である' ,o∈δ,∃S,∃V,′Vはδ から S へのファンクション（関数）である ′,∀α∈δ,V(α)=∪α′∈αPowV(α′),p∈V(o)'。

58: 記述29


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）pに対して、'pはグラウンデッドである（接地している）'は妥当である。

59: 証明29


'pはグラウンデッドである（接地している）'は'∃o,o はオーディナルナンバー（順序数）である ′,p⊆Voである。

60: 記述30


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）たちp,Sに対して、'p=rankS'は妥当である。

61: 証明30


'p=rankS' is 'p はオーディナルナンバー（順序数）である ∧S⊆Vp∧¬(∃o∈p,S⊆Vo)'。

62: 記述31


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）たちp,Sに対して、'p∉S'は妥当である。

63: 証明31


'p∉S'は'¬p∈S'である。

64: 記述32


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）Sに対して、'SはR上のオープンインターバル（開区間）である'は妥当である。

65: 証明32


'SはR上のオープンインターバル（開区間）である'は'∃p1,p2(p1,p2∈R∧p1,p2∉S∧p1≤p2∧∀p3∈R(p3∈S⟺p1<p3<p2))'。

66: 記述33


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）Sに対して、'SはR上のクローズドインターバル（閉区間）である'は妥当である。

67: 証明33


'SはR上のクローズドインターバル（閉区間）である'は'∃p1,p2(p1,p2∈R∧p1,p2∈S∧p1≤p2∧∀p3∈R(p3∈S⟺p1≤p3≤p2))'。

68: 記述34


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）Sに対して、'SはR上のレフト（左）オープン（開）ライト（右）クローズド（閉）インターバル（区間）である'は妥当である。

69: 証明34


'SはR上のレフト（左）オープン（開）ライト（右）クローズド（閉）インターバル（区間）である'は'∃p1,p2(p1,p2∈R∧p1∉S∧p2∈S∧p1≤p2∧∀p3∈R(p3∈S⟺p1<p3≤p2))'である。

70: 記述35


任意の妥当なセット（集合）バリアブル（変数）Sに対して、'SはR上のレフト（左）クローズド（閉）ライト（右）オープン（開）インターバル（区間）である'は妥当である。

71: 証明35


'SはR上のレフト（左）クローズド（閉）ライト（右）オープン（開）インターバル（区間）である'は'∃p1,p2(p1,p2∈R∧p1∈S∧p2∉S∧p1≤p2∧∀p3∈R(p3∈S⟺p1≤p3<p2))'である。

72: 注


私が読んだ全てのテキストブックたち（この世の中の全てのテキストブックたちとは私は言わない）は"任意のフォーミュラは妥当でなければならない。"のように述べ、どのように妥当であるのかそれほど明らかでない（少なくとも私には）フォーミュラたちを提示し出す。例えば、それらは{...}を使いだす、それは基本的コンポーネントではないが。

したがって、妥当なフォーミュラたちの中でどのコンポーネントたちが安全に使えるかをリストしなければならなかった。

勿論、上記にリストされたものたちは、私がこれまでに特に気付いたものたちだけである。

参考資料
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