2023年5月14日日曜日

276: サブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）を包含するトランジティブ（推移的）セット（集合）である

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サブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）を包含するトランジティブ（推移的）セット（集合）であることの記述/証明

話題


About: セット（証明）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のサブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）を包含するトランジティブ（推移的）セット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のサブセット（部分集合）S、自然数たちセット（集合）N、トランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）のためのフォーミュラϕ(x,y)に対して、Sのトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）S―はSを包含するトランジティブ（推移的）セット（集合）である。

2: 証明


Nはウェルオーダードセット（集合）である。当該フォーミュラy=S∪∪∪ima xは妥当なフォーミュラである、yは、Nの任意のサブセット（部分集合）からの任意のファンクション（関数）である任意xに対してユニークに決定されるから。したがって、トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理がそれらに適用でき、構築されたファンクション（関数）fはf(n)=S∪∪∪ima f|seg nを満足する。

f(n+)=S∪∪∪ima f|seg n+。f(n)∈ima f|seg n+、なぜなら、n∈seg n+およびf(n)=f|seg n+(n)。任意のp∈f(n)に対して、p∈∪ima f|seg n+、そして、任意のp′∈pに対して、p′∈∪∪ima f|seg n+。したがって、p′∈f(n+)、したがって、p⊆f(n+)。

任意のp∈S―=∪ima fに対して、あるnに対してp∈f(n)。したがって、前パラグラフによって、p⊆f(n+)。したがって、任意のp′∈pに対して、p′∈f(n+)⊆∪ima f=S―。

S⊆S―、なぜなら、S―=∪ima fである一方でf(n)=S∪∪∪ima f|seg n。

参考資料
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