サブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）を包含するトランジティブ（推移的）セット（集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（証明）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）を包含するトランジティブ（推移的）セット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のサブセット（部分集合）\(S\)、自然数たちセット（集合）\(N\)、トランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）のためのフォーミュラ\(\phi (x, y)\)に対して、\(S\)のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）\(\overline S\)は\(S\)を包含するトランジティブ（推移的）セット（集合）である。
2: 証明
\(N\)はウェルオーダードセット（集合）である。当該フォーミュラ\(y = S \cup \cup \cup ima \text{ }x\)は妥当なフォーミュラである、\(y\)は、\(N\)の任意のサブセット（部分集合）からの任意のファンクション（関数）である任意\(x\)に対してユニークに決定されるから。したがって、トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理がそれらに適用でき、構築されたファンクション（関数）\(f\)は\(f (n) = S \cup \cup \cup ima \text{ }f\vert_{seg \text{ }n}\)を満足する。
\(f (n^+) = S \cup \cup \cup ima \text{ }f\vert_{seg \text{ }n^+}\)。\(f (n) \in ima \text{ }f\vert_{seg \text{ }n^+}\)、なぜなら、\(n \in seg \text{ }n^+\)および\(f (n) = f\vert_{seg \text{ }n^+} (n)\)。任意の\(p \in f (n)\)に対して、\(p \in \cup ima \text{ }f\vert_{seg \text{ }n^+}\)、そして、任意の\(p' \in p\)に対して、\(p' \in \cup \cup ima \text{ }f\vert_{seg \text{ }n^+}\)。したがって、\(p' \in f (n^+)\)、したがって、\(p \subseteq f (n^+)\)。
任意の\(p \in \overline S = \cup ima \text{ }f\)に対して、ある\(n\)に対して\(p \in f (n)\)。したがって、前パラグラフによって、\(p \subseteq f (n^+)\)。したがって、任意の\(p' \in p\)に対して、\(p' \in f (n^+) \subseteq \cup ima \text{ }f = \overline S\)。
\(S \subseteq \overline S\)、なぜなら、\(\overline S = \cup ima \text{ }f\)である一方で\(f (n) = S \cup \cup \cup ima \text{ }f\vert_{seg \text{ }n}\)。
