277: プロダクトトポロジカルスペース（空間）へのネットはポイントへ収束する、もしも、ネット後の各プロジェクションがポイントのコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限って

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プロダクトトポロジカルスペース（空間）へのネットはポイントへ収束する、もしも、ネット後の各プロジェクションがポイントのコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述1
• 2: 証明1
• 3: 記述2
• 4: 証明2
• 5: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットの定義を知っている。
• 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
• 読者は、無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）への任意のネットはあるポイントへ収束する、もしも、当該ネット後の各構成要素スペース（空間）へのプロジェクションが当該ポイントの対応するコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述1

任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）$T={\times }_{\alpha }{T}_{\alpha }$、ここで、$\alpha \in A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、任意のネット$n:D\to T$、ここで、$D$は任意のダイレクテッド（有向）セット（集合）、はあるポイント$p=(...,p_{\alpha },...)$（それは、実のところ、$f(\alpha )=p_{\alpha }$であるあるファンクション（関数）$f$である）へ収束する、つまり、$limn=p$、もしも、$n$後の各プロジェクション${\pi }_{\alpha }:T\to T_{\alpha }$が$p$の対応するコンポーネント$p_{\alpha }$へ収束する、つまり、$lim{\pi }_{\alpha }\circ n=p_{\alpha }$である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明1

$n$は$p$へ収束すると仮定する。$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$に対して、以下を満たすある$d\in D$、つまり、各$d^{\prime }\in D\text{ such that }d\le d^{\prime }$に対して、$n(d^{\prime })\in N_p$、がある。$p_{\alpha }$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_{p_{\alpha }}\subseteq T_{\alpha }$に対して、$p_{\alpha }$の周りのあるオープンセット（開集合）$U_{p_{\alpha }}\subseteq N_{p_{\alpha }}$がある。任意の固定した$\alpha$に対して、$p$の以下を満たすネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$、つまり、$N_p={\times }_{\beta \in A}{U}_{\beta }$、ここで、$\beta =\alpha$の時は$U_{\beta }=U_{p_{\alpha }}$で$\beta \ne \alpha$の時は$U_{\beta }=T_{\beta }$、それは実際$p$のオープン（開）ネイバーフッド（近傍）である、プロダクトトポロジーの定義によって、を取ろう。すると、$n(d^{\prime })\in N_p$、それが含意するのは、${\pi }_{\alpha }\circ n(d^{\prime })\in U_{p_{\alpha }}$。したがって、${\pi }_{\alpha }\circ n$は$p_{\alpha }$へ収束する。

${\pi }_{\alpha }\circ n$は各$\alpha \in A$に対して$p_{\alpha }$へ収束すると仮定しよう。$p_{\alpha }$の各ネイバーフッド（近傍）$N_{p_{\alpha }}\subseteq T_{\alpha }$に対して、以下を満たすある$d_{\alpha }\in D$、つまり、各$d^{\prime }\in D\text{ such that }{d}_{\alpha }\le d^{\prime }$に対して、$n(d^{\prime })\in N_{p_{\alpha }}$、がある。$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$に対して、$p$の周りのあるオープンセット（開集合）$U_p\subseteq N_p$、ここで、$U_p={\cup }_{\beta }{\times }_{\alpha }{U}_{\beta -\alpha }$、ここで、$\alpha \in A$、ここで、$\beta$はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）のメンバー、があり、任意の固定した$\beta$に対して、有限数の$U_{\beta -\alpha }$のみが$T_{\alpha }$でない、プロダクトトポロジーの定義によって。以下を満たすある$d_{\beta -\alpha }\in D$、つまり、各$d^{\prime }\in D\text{ such that }{d}_{\beta -\alpha }\le d^{\prime }$に対して、${\pi }_{\alpha }\circ n(d^{\prime })\in U_{\beta -\alpha }$、がある。$D$はダイレクテッド（有向）であるので、任意の固定した$\beta$に対して、以下を満たすある$d\in D$、つまり、それら有限数の$U_{\beta -\alpha }$たちに対して、$d_{\beta -\alpha }\le d$、がある、すると、各$d^{\prime }\in D\text{ such that }d\le d^{\prime }$に対して、固定された$\beta$に対し任意の$\alpha$に対して${\pi }_{\alpha }\circ n(d^{\prime })\in U_{\beta -\alpha }$。したがって、$n(d^{\prime })\in {\times }_{\alpha }{U}_{\beta -\alpha }\subseteq U_p$。したがって、$n$は$p$へ収束する。

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3: 記述2

任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）$T=T_1\times T_2\times ...\times T_n$に対して、任意のネット$n:D\to T$、ここで、$D$は任意のダイレクテッド（有向）セット（集合）、はあるポイント$p=(p_1,p_2,...,p_n)$へ収束する、つまり、$limn=p$、もしも、$n$後の各プロジェクション${\pi }_i:T\to T_i$が$p$の対応するコンポーネント$p_i$へ収束する、つまり、$lim{\pi }_i\circ n=p_i$である、場合、そしてその場合に限って。

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4: 証明2

無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって、$T$は、$T^{\prime }={\times }_i{T}_i$、ここで、$i\in \{1,2,...,n\}$、へホメオモーフィック（位相同形写像）であり、記述1が$T^{\prime }$へ適用できる。

もしも、$n$が$p$へ収束する場合、対応するネット$n^{\prime }:D\to T^{\prime }$は対応するポイント$p^{\prime }$へ収束する、なぜなら、$p^{\prime }$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_{p^{\prime }}\subseteq T^{\prime }$に対して、$n$は$p$の対応するネイバーフッド（近傍）$N_p$の中にそのうち入る、それが含意するのは、$n^{\prime }$は$N_{p^{\prime }}$の中にそのうち入るということである。記述1によって、${\pi }_i^{\prime }\circ n^{\prime }$は$p_i$ へ収束する（$p_i^{\prime }$と$p_i$は同じもの）。すると、${\pi }_i\circ n$は$p_i$へ収束する、なぜなら、${\pi }_i^{\prime }\circ n^{\prime }$と${\pi }_i\circ n$は同じものだから。

もしも、${\pi }_i\circ n$が各$i$に対して$p_i$へ収束する場合、${\pi }_i^{\prime }\circ n^{\prime }$は$p_i$へ収束する。記述1によって、$n^{\prime }$は$p^{\prime }$へ収束する。すると、$n$は$p$へ収束する、なぜなら、$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$に対して、$n^{\prime }$は$p^{\prime }$の対応するネイバーフッド（近傍）$N_{p^{\prime }}$にそのうち入る、それが含意するのは、$n$は$N_p$の中にそのうち入るということである。

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5: 注

無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題に述べられているとおり、$T=T_1\times T_2\times ...\times T_n$と$T^{\prime }={\times }_i{T}_i$は厳密に同じではない、なぜなら、$T$の任意の要素は$⟨p_1,p_2,...,p_n⟩$のようなものである一方で$T^{\prime }$の任意の要素はファンクション（関数）$f:\{1,2,...,n\}\to {\cup }_i{T}_i$である、一部の人々はずさんに、それらは同一のものだと言うかもしれないが。記述2はいずれにせよ、ホメオモーフィズム（位相同形写像）性から明白に思えるかもしれないが、より明示的であるよう私たちは労をとった。

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参考資料

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