プロダクトトポロジカルスペース（空間）へのネットはポイントへ収束する、もしも、ネット後の各プロジェクションがポイントのコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）への任意のネットはあるポイントへ収束する、もしも、当該ネット後の各構成要素スペース（空間）へのプロジェクションが当該ポイントの対応するコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述1
任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T = \times_{\alpha} T_\alpha\)、ここで、\(\alpha \in A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、任意のネット\(n: D \rightarrow T\)、ここで、\(D\)は任意のダイレクテッド（有向）セット（集合）、はあるポイント\(p = (. . ., p_\alpha, . . .)\)（それは、実のところ、\(f (\alpha) = p_\alpha\)であるあるファンクション（関数）\(f\)である）へ収束する、つまり、\(lim \text{ }n = p\)、もしも、\(n\)後の各プロジェクション\(\pi_\alpha: T \rightarrow T_\alpha\)が\(p\)の対応するコンポーネント\(p_\alpha\)へ収束する、つまり、\(lim \text{ }\pi_\alpha \circ n = p_\alpha\)である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明1
\(n\)は\(p\)へ収束すると仮定する。\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、以下を満たすある\(d \in D\)、つまり、各\(d' \in D \text{ such that }d \leq d'\)に対して、\(n (d') \in N_p\)、がある。\(p_\alpha\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{p_\alpha} \subseteq T_\alpha\)に対して、\(p_\alpha\)の周りのあるオープンセット（開集合）\(U_{p_\alpha} \subseteq N_{p_\alpha}\)がある。任意の固定した\(\alpha\)に対して、\(p\)の以下を満たすネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)、つまり、\(N_p = \times_{\beta \in A} U_\beta\)、ここで、\(\beta = \alpha\)の時は\(U_\beta = U_{p_\alpha}\)で\(\beta \neq \alpha\)の時は\(U_\beta = T_\beta\)、それは実際\(p\)のオープン（開）ネイバーフッド（近傍）である、プロダクトトポロジーの定義によって、を取ろう。すると、\(n (d') \in N_p\)、それが含意するのは、\(\pi_\alpha \circ n (d') \in U_{p_\alpha}\)。したがって、\(\pi_\alpha \circ n\)は\(p_\alpha\)へ収束する。
\(\pi_\alpha \circ n\)は各\(\alpha \in A\)に対して\(p_\alpha\)へ収束すると仮定しよう。\(p_\alpha\)の各ネイバーフッド（近傍）\(N_{p_\alpha} \subseteq T_\alpha\)に対して、以下を満たすある\(d_\alpha \in D\)、つまり、各\(d' \in D \text{ such that } d_\alpha \leq d'\)に対して、\(n (d') \in N_{p_\alpha}\)、がある。\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、\(p\)の周りのあるオープンセット（開集合）\(U_p \subseteq N_p\)、ここで、\(U_p = \cup_\beta \times_\alpha U_{\beta-\alpha}\)、ここで、\(\alpha \in A\)、ここで、\(\beta\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）のメンバー、があり、任意の固定した\(\beta\)に対して、有限数の\(U_{\beta-\alpha}\)のみが\(T_\alpha\)でない、プロダクトトポロジーの定義によって。以下を満たすある\(d_{\beta-\alpha} \in D\)、つまり、各\(d' \in D \text{ such that } d_{\beta-\alpha} \leq d'\)に対して、\(\pi_{\alpha} \circ n (d') \in U_{\beta-\alpha}\)、がある。\(D\)はダイレクテッド（有向）であるので、任意の固定した\(\beta\)に対して、以下を満たすある\(d \in D\)、つまり、それら有限数の\(U_{\beta-\alpha}\)たちに対して、\(d_{\beta-\alpha} \leq d\)、がある、すると、各\(d' \in D \text{ such that } d \leq d'\)に対して、固定された\(\beta\)に対し任意の\(\alpha\)に対して\(\pi_\alpha \circ n (d') \in U_{\beta-\alpha}\)。したがって、\(n (d') \in \times_\alpha U_{\beta-\alpha} \subseteq U_p\)。したがって、\(n\)は\(p\)へ収束する。
3: 記述2
任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T = T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)に対して、任意のネット\(n: D \rightarrow T\)、ここで、\(D\)は任意のダイレクテッド（有向）セット（集合）、はあるポイント\(p = (p_1, p_2, . . ., p_n)\)へ収束する、つまり、\(lim \text{ }n = p\)、もしも、\(n\)後の各プロジェクション\(\pi_i: T \rightarrow T_i\)が\(p\)の対応するコンポーネント\(p_i\)へ収束する、つまり、\(lim \text{ }\pi_i \circ n = p_i\)である、場合、そしてその場合に限って。
4: 証明2
無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって、\(T\)は、\(T' = \times_i T_i\)、ここで、\(i \in \{1, 2, . . ., n\}\)、へホメオモーフィック（位相同形写像）であり、記述1が\(T'\)へ適用できる。
もしも、\(n\)が\(p\)へ収束する場合、対応するネット\(n': D \rightarrow T'\)は対応するポイント\(p'\)へ収束する、なぜなら、\(p'\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{p'} \subseteq T'\)に対して、\(n\)は\(p\)の対応するネイバーフッド（近傍）\(N_p\)の中にそのうち入る、それが含意するのは、\(n'\)は\(N_{p'}\)の中にそのうち入るということである。記述1によって、\(\pi'_i \circ n'\)は\(p_i\) へ収束する（\(p'_i\)と\(p_i\)は同じもの）。すると、\(\pi_i \circ n\)は\(p_i\)へ収束する、なぜなら、\(\pi'_i \circ n'\)と\(\pi_i \circ n\)は同じものだから。
もしも、\(\pi_i \circ n\)が各\(i\)に対して\(p_i\)へ収束する場合、\(\pi'_i \circ n'\)は\(p_i\)へ収束する。記述1によって、\(n'\)は\(p'\)へ収束する。すると、\(n\)は\(p\)へ収束する、なぜなら、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、\(n'\)は\(p'\)の対応するネイバーフッド（近傍）\(N_{p'}\)にそのうち入る、それが含意するのは、\(n\)は\(N_p\)の中にそのうち入るということである。
5: 注
無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題に述べられているとおり、\(T = T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)と\(T' = \times_i T_i\)は厳密に同じではない、なぜなら、\(T\)の任意の要素は\(\langle p_1, p_2, . . ., p_n \rangle\)のようなものである一方で\(T'\)の任意の要素はファンクション（関数）\(f: \{1, 2, . . ., n\} \rightarrow \cup_i T_i\)である、一部の人々はずさんに、それらは同一のものだと言うかもしれないが。記述2はいずれにせよ、ホメオモーフィズム（位相同形写像）性から明白に思えるかもしれないが、より明示的であるよう私たちは労をとった。
