2023年6月4日日曜日

294: オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションの導出されたオペレーションはモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）である

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オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションの導出されたオペレーションはモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）であることの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションの導出されたオペレーションはモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションf:O→O、ここで、O全オーディナル（順序）数たちコレクション、に対して、f′:O→Oはモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）である。

2: 証明


f′はモノトーン（単調）である、なぜなら、それは定義上、固定されたポイントたちを昇順で選ぶから。

コンティニュアス（連続）性に関しては、任意のリミット（限界）オーディナル（順序）数o0∈Oに対して、f′(o0)=∪o∈o0f′(o)？∪o∈o0f′(o)=sup{f′(o)|o∈o0}:=o1。もしも、o1=f(o1)であれば、o1=f′(o0)、なぜなら、o1は{f′(o)|o∈o0}を除いて最小固定されたポイントである。その時、o1=f(o1)? f(f′(o))=f′(o)。両辺のセット（集合）たちのサプリマム（上限）たちを取って、sup{f(f′(o))|o∈o0}=sup{f′(o)|o∈o0}=o1。しかし、sup{f(f′(o))|o∈o0}=f(o1)? o1はリミット（限界）オーディナル（順序）数である、なぜなら、もしも、それがサクセッサー（後続）オーディナル（順序）数であったら、それは{f′(o)|o∈o0}の中に最大を持つことになるだろう、それは不可能だろう、なぜなら、o0はリミット（限界）オーディナル（順序）数であり、もしも、f′(o′)が最大だったら、以下を満たすあるo″、つまり、o′∈o″∈o0およびf′(o′)∈f′(o″)、があるだろう。したがって、f(o1)=sup{f(o)|o∈o1}、fはコンティニュアス（連続）であるから、そして、f(o1)はリミット（限界）オーディナル（順序）数である、同様の理由によって。sup{f(f′(o))|o∈o0}=sup{f(o)|o∈o1}？任意のo∈o0に対して、f′(o)∈o1、したがって、左辺内のf(f′(o))は右辺内のf(o)として現れる、したがって、右辺は左辺に等しいか左辺より大きい。任意のo∈o1に対して、以下を満たすあるo′∈o0、つまり、f(o)∈f(f′(o′))、があるか？sup{f′(o)|o∈o0}=o1であるから、以下を満たすあるo′∈o0、つまり、o∈f′(o′)、がある、なぜなら、そうでなければ、oはより小さいアッパーバウンド（上限）ということになるから。したがって、f(o)∈f(f′(o′))、したがって、左辺は右辺に等しいか右辺より大きい。したがって、左辺は右辺に等しい。したがって、はい、sup{f(f′(o))|o∈o0}=sup{f(o)|o∈o1}。したがって、はい、sup{f(f′(o))|o∈o0}=f(o1)。したがって、はい、o1=f(o1)。したがって、はい、f′(o0)=∪o∈o0f′(o)。

参考資料
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