オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションの導出されたオペレーションはモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションの導出されたオペレーションはモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーション\(f: O \rightarrow O\)、ここで、\(O\)全オーディナル（順序）数たちコレクション、に対して、\(f': O \rightarrow O\)はモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）である。
2: 証明
\(f'\)はモノトーン（単調）である、なぜなら、それは定義上、固定されたポイントたちを昇順で選ぶから。
コンティニュアス（連続）性に関しては、任意のリミット（限界）オーディナル（順序）数\(o_0 \in O\)に対して、\(f' (o_0) = \cup_{o \in o_0} f' (o)\)？\(\cup_{o \in o_0} f' (o) = sup \{f' (o)\vert o \in o_0\} := o_1\)。もしも、\(o_1 = f (o_1)\)であれば、\(o_1 = f' (o_0)\)、なぜなら、\(o_1\)は\(\{f' (o)\vert o \in o_0\}\)を除いて最小固定されたポイントである。その時、\(o_1 = f (o_1)\)? \(f (f' (o)) = f' (o)\)。両辺のセット（集合）たちのサプリマム（上限）たちを取って、\(sup \{f (f' (o))\vert o \in o_0\} = sup \{f' (o)\vert o \in o_0\} = o_1\)。しかし、\(sup \{f (f' (o))\vert o \in o_0\} = f (o_1)\)? \(o_1\)はリミット（限界）オーディナル（順序）数である、なぜなら、もしも、それがサクセッサー（後続）オーディナル（順序）数であったら、それは\(\{f' (o)\vert o \in o_0\}\)の中に最大を持つことになるだろう、それは不可能だろう、なぜなら、\(o_0\)はリミット（限界）オーディナル（順序）数であり、もしも、\(f' (o')\)が最大だったら、以下を満たすある\(o''\)、つまり、\(o' \in o'' \in o_0\)および\(f' (o') \in f' (o'')\)、があるだろう。したがって、\(f (o_1) = sup \{f (o)\vert o \in o_1\}\)、\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、そして、\(f (o_1)\)はリミット（限界）オーディナル（順序）数である、同様の理由によって。\(sup \{f (f' (o))\vert o \in o_0\} = sup \{f (o)\vert o \in o_1\}\)？任意の\(o \in o_0\)に対して、\(f' (o) \in o_1\)、したがって、左辺内の\(f (f' (o))\)は右辺内の\(f (o)\)として現れる、したがって、右辺は左辺に等しいか左辺より大きい。任意の\(o \in o_1\)に対して、以下を満たすある\(o' \in o_0\)、つまり、\(f (o) \in f (f' (o'))\)、があるか？\(sup \{f' (o)\vert o \in o_0\} = o_1\)であるから、以下を満たすある\(o' \in o_0\)、つまり、\(o \in f' (o')\)、がある、なぜなら、そうでなければ、\(o\)はより小さいアッパーバウンド（上限）ということになるから。したがって、\(f (o) \in f (f' (o'))\)、したがって、左辺は右辺に等しいか右辺より大きい。したがって、左辺は右辺に等しい。したがって、はい、\(sup \{f (f' (o))\vert o \in o_0\} = sup \{f (o)\vert o \in o_1\}\)。したがって、はい、\(sup \{f (f' (o))\vert o \in o_0\} = f (o_1)\)。したがって、はい、\(o_1 = f (o_1)\)。したがって、はい、\(f' (o_0) = \cup_{o \in o_0} f' (o)\)。
