293: ヴェブレン固定されたポイント定理の証明における固定されたポイントは、条件を満たす最小のものである

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ヴェブレン固定されたポイント定理の証明における固定されたポイントは、条件を満たす最小のものであることの記述/証明

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話題

About: セット（証明）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ヴェブレン固定されたポイント定理の当該証明を認めている。
• 読者は、全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）オペレーションおよび任意の引数に対して、値は引数に等しいか引数を包含するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ヴェブレン固定されたポイント定理の当該証明において示されている固定されたポイントは、指定されたオーディナル（順序）数に等しいか指定されたオーディナル（順序）数より大きい固定されたポイントであるという条件を満たす最小のものであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

ヴェブレン固定されたポイント定理の当該証明の中で、ある固定されたポイント$o_1$が、全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーション$f:O\to O$に対する、任意のオーディナル（順序）数$o_0$に等しいか$o_0$より大きいある固定されたポイントであると示されているが、実のところ、$o_1$は、$o_0\in =o,f(o)=o$を満たす最小のものである。

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2: 証明

全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）オペレーションおよび任意の引数に対して、値は引数に等しいか引数を包含するという命題によって、$o_0\in =f(o_0)$。

$o_0=f(o_0)$であると仮定しよう。すると、$o_1=o_0$は最小のものである。

$o_0\in f(o_0)$であると仮定しよう。以下を満たす任意のあり得る固定されたポイント$o$、つまり、$o_0\in =o$および$o=f(o)$、に対して、$o_0\in o$、なぜなら、$o_0$は固定されたポイントではないから。$f(o_0)\in o$、なぜなら、もしも、$o_0\in o\in =f(o_0)$だったら、$o\in =f(o_0)\in f(o)$だということになるだろう、$o$が固定されたポイントであることに反する矛盾。同様に、$1<n$を満たす任意の自然数$n$に対して、$f^n(o_0)\in o$、ここで、$f^n$は$f\circ f\circ ...\circ f$、$n$回を意味する。したがって、$o$は$\{f^n(o_0)|n\in N\}$、ここで、$N$は自然数たちセット（集合）、のアッパーバウンド（上限）である。したがって、$o$は$\{f^n(o_0)|n\in N\}$のサプリマム（上限）、それは$o_1$である、より小さいことはあり得ない。

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参考資料

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