トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のサブスペース（部分空間）\(T_1 \subseteq T\)に対して、\(T_1\)の任意のコンパクトサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_1\)は\(T\)上でコンパクトである。
2: 証明
\(S\)の\(T\)上での任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U'_\alpha\}\)に対して、\(\{U_\alpha = U'_\alpha \cap T_1\}\)は\(S\)の\(T_1\)上でのオープンカバー（開被覆）である。\(\{U_\alpha\}\)のある有限サブカバー\(\{U_j\}\), of がある。対応する\(\{U'_j\}\)は\(\{U'_\alpha\}\)の有限サブカバーである。
