317: トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なカバーに対して、コンパクトなサブセット（部分集合）はカバーの有限数要素たちのみとインターセクトする

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トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なカバーに対して、コンパクトなサブセット（部分集合）はカバーの有限数要素たちのみとインターセクトすることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なカバーの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のローカルに有限なカバーに対して、任意のコンパクトサブセット（部分集合）は当該カバーの有限数要素たちのみとインターセクトするという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および$T$の任意のローカルに有限なカバー$S_1$に対して、任意のコンパクトサブセット（部分集合）$S_2\subseteq T$は$S_1$の有限要素たちのみとインターセクトする。

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2: 証明

$S_2$は$S_2$上の各ポイントの以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）、つまり、ネイバーフッド（近傍）は$S_1$の有限数要素たちのみとインターセクトする、によってカバーされることができる、トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なカバーの定義によって。当該カバーはある有限サブカバー$S_3$を持つ、なぜなら、$S_2$はコンパクトである。$\cup S_3$は$S_1$の有限数要素たちのみとインターセクトする。したがって、$S_2\subseteq \cup S_3$は$S_1$の有限要素たちのみとインターセクトする。

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3: 注

$S_1$はオープンカバーである必要はない、それは典型的にはオープンカバーであるが。

たとえ、$S_1$がオープンカバー（開被覆）だとしても、$S_2$が$S_1$の有限要素たちにカバーされることは、$S_2$が$S_1$の有限要素たちのみとインターセクトすることを即座には意味しない、なぜなら、$S_2$をカバーするそれら有限数要素たちの存在は、$S_2$とインターセクトする他の要素がないことを即座には意味しない。

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参考資料

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