トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なカバーに対して、コンパクトなサブセット（部分集合）はカバーの有限数要素たちのみとインターセクトすることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なカバーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のローカルに有限なカバーに対して、任意のコンパクトサブセット（部分集合）は当該カバーの有限数要素たちのみとインターセクトするという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および\(T\)の任意のローカルに有限なカバー\(S_1\)に対して、任意のコンパクトサブセット（部分集合）\(S_2 \subseteq T\)は\(S_1\)の有限要素たちのみとインターセクトする。
2: 証明
\(S_2\)は\(S_2\)上の各ポイントの以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）、つまり、ネイバーフッド（近傍）は\(S_1\)の有限数要素たちのみとインターセクトする、によってカバーされることができる、トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なカバーの定義によって。当該カバーはある有限サブカバー\(S_3\)を持つ、なぜなら、\(S_2\)はコンパクトである。\(\cup S_3\)は\(S_1\)の有限数要素たちのみとインターセクトする。したがって、\(S_2 \subseteq \cup S_3\)は\(S_1\)の有限要素たちのみとインターセクトする。
3: 注
\(S_1\)はオープンカバーである必要はない、それは典型的にはオープンカバーであるが。
たとえ、\(S_1\)がオープンカバー（開被覆）だとしても、\(S_2\)が\(S_1\)の有限要素たちにカバーされることは、\(S_2\)が\(S_1\)の有限要素たちのみとインターセクトすることを即座には意味しない、なぜなら、\(S_2\)をカバーするそれら有限数要素たちの存在は、\(S_2\)とインターセクトする他の要素がないことを即座には意味しない。
