318: パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムはパラコンパクトである

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パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムはパラコンパクトであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルサムの定義を知っている。
• 読者は、パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムはハウスドルフであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のアンカウンタブル（不可算）数かもしれないパラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムはパラコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のパラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち$\{T_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、トポロジカルサム$T:=\coprod _{\alpha }{T}_{\alpha }$はパラコンパクトである。

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2: 証明

$T$はハウスドルフトポロジカルスペース（空間）である、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムとして、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムはハウスドルフであるという命題によって。

$T$の任意のオープンカバー（開被覆）$S:=\{U_{\beta }\subseteq T|\beta \in B\}$、ここで、$B$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、$S_{\alpha }:=\{U_{\beta }\cap T_{\alpha }|\beta \in B\}$は$T_{\alpha }$のオープンカバー（開被覆）である。$T_{\alpha }$はパラコンパクトであるから、ローカルに有限なリファインメント（洗練）${S_{\alpha }}^{\prime }:=\{{U_{\alpha -\gamma }}^{\prime }\subseteq U_{\beta }\cap T_{\alpha }|\gamma \in C\}$、ここで、$C$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、がある。${\cup }_{\alpha }{S_{\alpha }}^{\prime }$は$S$のローカルに有限なリファインメント（洗練）である、なぜなら、${U_{\alpha -\gamma }}^{\prime }$は$T$上でオープン（開）、${\cup }_{\alpha }{S_{\alpha }}^{\prime }$は$T$をカバーする、${U_{\alpha -\gamma }}^{\prime }\subseteq U_{\beta }$、そして、任意のポイント$p\in T$の周りに、$p\in T_{\alpha }$、そして、以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$N_p$、つまり、ネイバーフッド（近傍）は$T_{\alpha }$に包含されていて${S_{\alpha }}^{\prime }$の有限数要素たちのみをインターセクトする、がある、なぜなら、$T_{\alpha }$はオープン（開）で、$\beta \ne \alpha$である任意の$T_{\beta }$からディスジョイント（互いに素）。

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3: 注

$T$が、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）で、任意のアンカウンタブル（不可算）数かもしれないオープン（開）パラコンパクトサブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）である時、$T$はパラコンパクトである、なぜなら、$T$はサブスペース（部分空間）たちのトポロジカルサムである。

サブスペース（部分空間）たちはオープン（開）でディスジョイント（互いに素）でなければならない、本命題を適用するためには、なぜなら、そうでなければ、$T$はトポロジカルサムではないだろうから。

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参考資料

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