有限個サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限数サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意の有限数サブセット（部分集合）たち\(S_i \subseteq T\)に対して、\(\overline{\cup_i S_i} = \cup_i \overline{S_i}\)、ここで、上線たちはクロージャー（閉包）たちを表わす。
2: 証明
\(S := \cup_i S_i\)。
\(\overline{S}\)は、セット（集合）のクロージャー（閉包）の定義によって、\(S\)を包含する最小のクローズドセット（閉集合）であるが、\(\cup_i \overline{S_i}\)は、\(S\)を包含するあるクローズドセット（閉集合）である。したがって、\(\overline{S} \subseteq \cup_i \overline{S_i}\)。
任意の\(p \in \cup_i \overline{S_i}\)に対して、ある\(i\)に対して、\(p \in \overline{S_i}\)。\(p \in S_i\)、または、\(p \notin S_i\)かつ\(p\)は\(S_i\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。もしも、\(p \in S_i\)であれば、\(p \in S\)、したがって、\(p \in \overline{S}\)。もしも、\(p \notin S_i\)かつ\(p\)は\(S_i\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であれば、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、\(N_p \cap S_i \neq \emptyset\)。もしも、\(p \in S\)であれば、\(p \in \overline{S}\)、そうでなければ、\(p \notin S\)かつ\(N_p \cap S \neq \emptyset\)、したがって、\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、\(p \in \overline{S}\)。したがって、\(\cup_i \overline{S_i} \subseteq \overline{S}\)。
