316: 有限個サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）である

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有限個サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
• 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の有限数サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および任意の有限数サブセット（部分集合）たち$S_i\subseteq T$に対して、$\overline{{\cup }_i{S}_i}={\cup }_i\overline{S_i}$、ここで、上線たちはクロージャー（閉包）たちを表わす。

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2: 証明

$S:={\cup }_i{S}_i$。

$\bar{S}$は、セット（集合）のクロージャー（閉包）の定義によって、$S$を包含する最小のクローズドセット（閉集合）であるが、${\cup }_i\overline{S_i}$は、$S$を包含するあるクローズドセット（閉集合）である。したがって、$\bar{S}\subseteq {\cup }_i\overline{S_i}$。

任意の$p\in {\cup }_i\overline{S_i}$に対して、ある$i$に対して、$p\in \overline{S_i}$。$p\in S_i$、または、$p\notin S_i$かつ$p$は$S_i$のアキューミュレーションポイント（集積点）である、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。もしも、$p\in S_i$であれば、$p\in S$、したがって、$p\in \bar{S}$。もしも、$p\notin S_i$かつ$p$は$S_i$のアキューミュレーションポイント（集積点）であれば、$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$に対して、$N_p\cap S_i\ne \mathrm{\varnothing }$。もしも、$p\in S$であれば、$p\in \bar{S}$、そうでなければ、$p\notin S$かつ$N_p\cap S\ne \mathrm{\varnothing }$、したがって、$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、$p\in \bar{S}$。したがって、${\cup }_i\overline{S_i}\subseteq \bar{S}$。

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参考資料

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