モノトーン（単調）オーディナル（順序）数たちオペレーションに対して、2つのドメイン（定義域）要素たちはメンバーシップリレーション（関係）にある、もしも、対応するイメージ（像）たちが同じリレーション（関係）にある場合、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オーディナル（順序）数の定義を知っている。
- 読者は、モノトーン（単調）オペレーションの定義を知っている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちコレクション上のメンバーシップリレーション（関係）のトライコトミー（3分割律）を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）オペレーションに対して、任意のドメイン（定義域）要素たちはあるメンバーシップリレーション（関係）にある、もしも、対応するイメージ（像）たちが同じメンバーシップリレーション（関係）にある場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のモノトーン（単調）オペレーション\(f: O \rightarrow O\)、ここで、\(O\)はオーディナル（順序）数たちコレクション、任意の2つのドメイン（定義域）要素たち\(o_1, o_2 \in O\)に対して、\(o_1 \in o_2\)、もしも、\(f (o_1) \in f (o_2)\)である場合; \(o_1 = o_2\)、もしも、\(f (o_1) = f (o_2)\)である場合。
2: 証明
\(f (o_1) \in f (o_2)\)であると仮定しよう。\(\lnot o_1 \in o_2\)であると仮定しよう。オーディナル（順序）数たちコレクション上のメンバーシップリレーション（関係）のトライコトミー（3分割律）によって、\(o_1 = o_2\)または\(o_2 \in o_1\)。もしも、\(o_1 = o_2\)である場合、\(f (o_1) = f (o_2)\)、\(f (o_1) \in f (o_2)\)に反する矛盾、オーディナル（順序）数たちコレクション上のメンバーシップリレーション（関係）のトライコトミー（3分割律）によって。もしも、\(o_2 \in o_1\)である場合、\(f (o_2) \in f (o_1)\)、\(f (o_1) \in f (o_2)\)に反する矛盾、オーディナル（順序）数たちコレクション上のメンバーシップリレーション（関係）のトライコトミー（3分割律）によって。したがって、\(o_1 \in o_2\)。
\(f (o_1) = f (o_2)\)であると仮定しよう。\(o_1 \neq o_2\)であると仮定しよう。オーディナル（順序）数たちコレクション上のメンバーシップリレーション（関係）のトライコトミー（3分割律）によって、\(o_1 \in o_2\)または\(o_2 \in o_1\)。もしも、\(o_1 \in o_2\)である場合、\(f (o_1) \in f (o_2)\)、\(f (o_1) = f (o_2)\)に反する矛盾、オーディナル（順序）数たちコレクション上のメンバーシップリレーション（関係）のトライコトミー（3分割律）によって。もしも、\(o_2 \in o_1\)であれば、\(f (o_2) \in f (o_1)\)、\(f (o_1) = f (o_2)\)に反する矛盾、オーディナル（順序）数たちコレクション上のメンバーシップリレーション（関係）のトライコトミー（3分割律）によって。したがって、\(o_1 = o_2\)。
