オーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロでその全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リミットオーディナル（順序）数の定義を知っている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロで、その全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のオーディナル（順序）数\(o\)に対して、\(o\)はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、\(o \neq 0\)および\(o = \cup_{o' \in o} o'\)である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(o \neq 0\)および\(o = \cup_{o' \in o} o'\)であると仮定しよう。
もしも、\(o\)がサクセッサーオーディナル（順序）数\(o = o''^+\)であったら、\(o'' \in o\)および\(o'' \subset o\)、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題によって。任意の\(o' \in o\)に対して、\(o' = o''\)または\(o' \in o''\)、\(o''\)は\(o\)より小さい最大のものであるから。したがって、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題によって、\(o' \subseteq o'' \subset o\)。したがって、\(\cup_{o' \in o} o' \subset o\)、矛盾。したがって、\(o\)はリミットオーディナル（順序）数である。
\(o\)はリミットオーディナル（順序）数であると仮定しよう。
任意の\(o' \in o\)に対して、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題によって、\(o' \subset o\)、したがって、\(\cup_{o' \in o} o' \subseteq o\)。任意の\(o'' \in o\)に対して、\(o''^+ \in o\)、なぜなら、\(o'' \in o''^+\)、\(o''^+ \neq o\)、そして、\(\lnot o'' \in o \in o''^+\)。したがって、\(o'' \in \cup_{o' \in o} o'\)、なぜなら、\(o'' \in o''^+\)、\(o''^+\)は1つの\(o'\)であるところ。したがって、\(o \subseteq \cup_{o' \in o} o'\)。したがって、\(o = \cup_{o' \in o} o'\)。
3: 注
もしも、\(o = 0\)であれば、\(o = \cup_{o' \in o} o'\)、なぜなら、\(o'\)はなく、そのケースでは当該ユニオン（和集合）は空集合であると仮定されているから、\(0\)は空集合であるところ。したがって、非ゼロ性条件が要求される。
