320: オーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロでその全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って

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オーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロでその全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リミットオーディナル（順序）数の定義を知っている。
• 読者は、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のオーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロで、その全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のオーディナル（順序）数$o$に対して、$o$はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、$o\ne 0$および$o={\cup }_{o^{\prime }\in o}{o}^{\prime }$である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$o\ne 0$および$o={\cup }_{o^{\prime }\in o}{o}^{\prime }$であると仮定しよう。

もしも、$o$がサクセッサーオーディナル（順序）数$o=o^{″+}$であったら、$o^{″}\in o$および$o^{″}\subset o$、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題によって。任意の$o^{\prime }\in o$に対して、$o^{\prime }=o^{″}$または$o^{\prime }\in o^{″}$、$o^{″}$は$o$より小さい最大のものであるから。したがって、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題によって、$o^{\prime }\subseteq o^{″}\subset o$。したがって、${\cup }_{o^{\prime }\in o}{o}^{\prime }\subset o$、矛盾。したがって、$o$はリミットオーディナル（順序）数である。

$o$はリミットオーディナル（順序）数であると仮定しよう。

任意の$o^{\prime }\in o$に対して、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題によって、$o^{\prime }\subset o$、したがって、${\cup }_{o^{\prime }\in o}{o}^{\prime }\subseteq o$。任意の$o^{″}\in o$に対して、$o^{″+}\in o$、なぜなら、$o^{″}\in o^{″+}$、$o^{″+}\ne o$、そして、$\mathrm{\neg }{o}^{″}\in o\in o^{″+}$。したがって、$o^{″}\in {\cup }_{o^{\prime }\in o}{o}^{\prime }$、なぜなら、$o^{″}\in o^{″+}$、$o^{″+}$は1つの$o^{\prime }$であるところ。したがって、$o\subseteq {\cup }_{o^{\prime }\in o}{o}^{\prime }$。したがって、$o={\cup }_{o^{\prime }\in o}{o}^{\prime }$。

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3: 注

もしも、$o=0$であれば、$o={\cup }_{o^{\prime }\in o}{o}^{\prime }$、なぜなら、$o^{\prime }$はなく、そのケースでは当該ユニオン（和集合）は空集合であると仮定されているから、$0$は空集合であるところ。したがって、非ゼロ性条件が要求される。

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参考資料

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