ウェルオーダード（整列）ストラクチャーおよびそのサブストラクチャーに対して、サブストラクチャーのオーディナル（順序）数はベースストラクチャーのオーディナル（順序）数のメンバーであるかオーディナル（順序）数であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ウェルオーダード（整列）ストラクチャーの定義を知っている。
- 読者は、オーディナル（順序）数の定義を知っている。
- 読者は、任意の2つのウェルオーダード（整列）ストラクチャーたちに対して、一方は他方または他方のあるイニシャルセグメントへ'ウェルオーダード（整列）ストラクチャーたち - オーダー（順序）維持マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、トランスファイナイトインダクションプリンシプル（帰納法）を認めている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のウェルオーダード（整列）ストラクチャー、その任意のサブストラクチャーに対して、サブストラクチャーのオーディナル（順序）数はベースストラクチャーのオーディナル（順序）数のメンバーであるかオーディナル（順序）数であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のウェルオーダード（整列）ストラクチャー\(\langle S_1, \lt \rangle\)でオーディナル（順序）数\(o_1\)を持ったもの、そのサブストラクチャー\(\langle S_2, \lt' \rangle\)、ここで、\(S_2 \in S_1\)で\(\lt'\)は\(\lt\)の\(S_2 \times S_2\)へのリストリクション（制限）、でオーディナル（順序）数\(o_2\)を持ったものに対して、\(o_2 \in= o_1\)、ここで、\(\in=\)は\(\in\)または\(=\)であることを意味する。
2: 証明
任意の\(p_{2, 0} \in S_2\) に対して、\(\lnot \langle S_1, \lt \rangle \cong \langle seg \text{ } p_{2, 0}, \lt' \rangle\)、ここで、\(\cong\)は'ウェルオーダード（整列）ストラクチャーたち - オーダー（順序）維持マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることを意味し、\(seg \text{ } \bullet\)は引数に関するイニシャルセグメントを意味する、であることを証明しよう。ある'ウェルオーダード（整列）ストラクチャーたち - オーダー（順序）維持マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f: S_1 \rightarrow seg \text{ } p_{2, 0}\)があったと仮定しよう。任意の\(p_1 \in S_1\)に対して、\(p_1 \in= f (p_1)\)であることを証明しよう、トランスファイナイトインダクションプリンシプル（帰納法）によって。ある\(p_{1, 0} \in S_1\)に対して、任意の\(p_1 \in seg \text{ } p_{1, 0}\)に対して、\(p_1 \in= f (p_1)\)であると仮定しよう。\(p_{1, 0}\)は\(S_1 \setminus seg \text{ } p_{1, 0}\)の最小要素であり、\(f (p_{1, 0})\)は\(seg \text{ } p_{2, 0} \setminus f (seg \text{ } p_{1, 0})\)の最小要素である。すると、\(p_{1, 0} \in= f (p_{1, 0})\)、なぜなら、もしも、\(f (p_{1, 0}) \in p_{1, 0}\)であれば、ある\(p_{1, 1} \in seg \text{ } p_{1, 0}\)に対して、\(f (p_{1, 0}) = p_{1, 1}\)、そして、\(p_{1, 1} \in= f (p_{1, 1}) \in f (p_{1, 0})\)、\(f (p_{1, 0}) = p_{1, 1}\)に反する矛盾。したがって、\(p_{1, 0} \in= f (p_{1, 0})\)。したがって、トランスファイナイトインダクションプリンシプル（帰納法）によって、任意の\(p_1 \in S_1\)に対して、\(p_1 \in= f (p_1)\)。すると、\(p_{2, 0} \in= f (p_{2, 0})\)、それが意味するのは、\(f\)は\(seg \text{ } p_{2, 0}\)の中へのものではなかったとということ、矛盾、したがって、そのような'ウェルオーダード（整列）ストラクチャーたち - オーダー（順序）維持マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はない、それが意味するのは、任意の\(p_{2, 0} \in S_2\)に対して、\(\lnot \langle S_1, \lt \rangle \cong \langle seg \text{ } p_{2, 0}, \lt' \rangle\)。
したがって、任意の2つのウェルオーダード（整列）ストラクチャーたちに対して、一方は他方または他方のあるイニシャルセグメントへ'ウェルオーダード（整列）ストラクチャーたち - オーダー（順序）維持マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題によって、\(\langle S_1, \lt \rangle \cong \langle S_2, \lt' \rangle\)またはある\(p_{1, 0} \in S_1\)に対して、\(\langle S_2, \lt' \rangle \cong \langle seg \text{ } p_{1, 0}, \lt \rangle\)。前者に対しては、\(o_1 = o_2\)。後者に対しては、\(o_2 \in o_1\)、\(\epsilon\)イメージ（像）の定義によって、なぜなら、\(\langle S_1, \lt \rangle\)の\(\epsilon\)イメージ（像）は\(\langle seg \text{ } p_{1, 0}, \lt \rangle\)の\(\epsilon\)イメージ（像）の全要素たちプラス少なくとも\(p_{1, 0}\)に対応する追加要素を含む、したがって、\(o_2 \subset o_1\)。オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題によって、\(o_2 \in= o_1\)。
