322: ウェルオーダード（整列）ストラクチャーおよびそのサブストラクチャーに対して、サブストラクチャーのオーディナル（順序）数はベースストラクチャーのオーディナル（順序）数のメンバーであるかオーディナル（順序）数である

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ウェルオーダード（整列）ストラクチャーおよびそのサブストラクチャーに対して、サブストラクチャーのオーディナル（順序）数はベースストラクチャーのオーディナル（順序）数のメンバーであるかオーディナル（順序）数であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ウェルオーダード（整列）ストラクチャーの定義を知っている。
• 読者は、オーディナル（順序）数の定義を知っている。
• 読者は、任意の2つのウェルオーダード（整列）ストラクチャーたちに対して、一方は他方または他方のあるイニシャルセグメントへ'ウェルオーダード（整列）ストラクチャーたち - オーダー（順序）維持マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、トランスファイナイトインダクションプリンシプル（帰納法）を認めている。
• 読者は、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のウェルオーダード（整列）ストラクチャー、その任意のサブストラクチャーに対して、サブストラクチャーのオーディナル（順序）数はベースストラクチャーのオーディナル（順序）数のメンバーであるかオーディナル（順序）数であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のウェルオーダード（整列）ストラクチャー$⟨S_1,<⟩$でオーディナル（順序）数$o_1$を持ったもの、そのサブストラクチャー$⟨S_2,{<}^{\prime }⟩$、ここで、$S_2\in S_1$で${<}^{\prime }$は$<$の$S_2\times S_2$へのリストリクション（制限）、でオーディナル（順序）数$o_2$を持ったものに対して、$o_2\in =o_1$、ここで、$\in =$は$\in$または$=$であることを意味する。

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2: 証明

任意の$p_{2,0}\in S_2$ に対して、$\mathrm{\neg }⟨S_1,<⟩\cong ⟨seg{p}_{2,0},{<}^{\prime }⟩$、ここで、$\cong$は'ウェルオーダード（整列）ストラクチャーたち - オーダー（順序）維持マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることを意味し、$seg\bullet$は引数に関するイニシャルセグメントを意味する、であることを証明しよう。ある'ウェルオーダード（整列）ストラクチャーたち - オーダー（順序）維持マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$f:S_1\to seg{p}_{2,0}$があったと仮定しよう。任意の$p_1\in S_1$に対して、$p_1\in =f(p_1)$であることを証明しよう、トランスファイナイトインダクションプリンシプル（帰納法）によって。ある$p_{1,0}\in S_1$に対して、任意の$p_1\in seg{p}_{1,0}$に対して、$p_1\in =f(p_1)$であると仮定しよう。$p_{1,0}$は$S_1\setminus seg{p}_{1,0}$の最小要素であり、$f(p_{1,0})$は$seg{p}_{2,0}\setminus f(seg{p}_{1,0})$の最小要素である。すると、$p_{1,0}\in =f(p_{1,0})$、なぜなら、もしも、$f(p_{1,0})\in p_{1,0}$であれば、ある$p_{1,1}\in seg{p}_{1,0}$に対して、$f(p_{1,0})=p_{1,1}$、そして、$p_{1,1}\in =f(p_{1,1})\in f(p_{1,0})$、$f(p_{1,0})=p_{1,1}$に反する矛盾。したがって、$p_{1,0}\in =f(p_{1,0})$。したがって、トランスファイナイトインダクションプリンシプル（帰納法）によって、任意の$p_1\in S_1$に対して、$p_1\in =f(p_1)$。すると、$p_{2,0}\in =f(p_{2,0})$、それが意味するのは、$f$は$seg{p}_{2,0}$の中へのものではなかったとということ、矛盾、したがって、そのような'ウェルオーダード（整列）ストラクチャーたち - オーダー（順序）維持マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はない、それが意味するのは、任意の$p_{2,0}\in S_2$に対して、$\mathrm{\neg }⟨S_1,<⟩\cong ⟨seg{p}_{2,0},{<}^{\prime }⟩$。

したがって、任意の2つのウェルオーダード（整列）ストラクチャーたちに対して、一方は他方または他方のあるイニシャルセグメントへ'ウェルオーダード（整列）ストラクチャーたち - オーダー（順序）維持マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題によって、$⟨S_1,<⟩\cong ⟨S_2,{<}^{\prime }⟩$またはある$p_{1,0}\in S_1$に対して、$⟨S_2,{<}^{\prime }⟩\cong ⟨seg{p}_{1,0},<⟩$。前者に対しては、$o_1=o_2$。後者に対しては、$o_2\in o_1$、$ϵ$イメージ（像）の定義によって、なぜなら、$⟨S_1,<⟩$の$ϵ$イメージ（像）は$⟨seg{p}_{1,0},<⟩$の$ϵ$イメージ（像）の全要素たちプラス少なくとも$p_{1,0}$に対応する追加要素を含む、したがって、$o_2\subset o_1$。オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題によって、$o_2\in =o_1$。

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参考資料

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