ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はパラコンパクトである、もしも、スペース（空間）はオープン（開）\(\sigma\)コンパクトサブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(\sigma\)コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のオープン（開）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のアンカウンタブル（不可算）数かもしれないパラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムはパラコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の有限数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のオープンセット（開集合）マイナス任意のクローズドセット（閉集合）はオープン（開）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のローカルに有限なカバーに対して、任意のコンパクトサブセット（部分集合）は当該カバーの有限数要素たちのみとインターセクトするという命題を認めている。
- 読者は、任意の有限数サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）に対して、当該カバー（被覆）内の任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該オープンセット（開集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りに、オープンネイバーフッド（開近傍）であってそのクロージャー（閉包）がコンパクトであるものがあるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はパラコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）はいくつかのディスジョイント（互いに素な）オープン（開）\(\sigma\)コンパクトサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、\(T\)はパラコンパクトである、もしも、\(T\)はいくつかのディスジョイント（互いに素な）オープン（開）\(\sigma\)コンパクトサブスペース（部分空間）たち\(\{T_\alpha\vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、のユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(T\)はいくつかのディスジョイント（互いに素な）オープン（開）\(\sigma\)コンパクトサブスペース（部分空間）たち\(\{T_\alpha\vert \alpha \in A\}\)のユニオン（和集合）であると仮定しよう。
任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題および任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のオープン（開）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトであるという命題によって、各\(T_\alpha\)はローカルにコンパクトハウスドルフである。もしも、各\(T_\alpha\)がパラコンパクトであれば、\(T = \{T_\alpha\vert \alpha \in A\}\)はパラコンパクトであるだろう、任意のアンカウンタブル（不可算）数かもしれないパラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムはパラコンパクトであるという命題内の"注"によって。
\(\sigma\)コンパクト性の定義によって、以下を満たすあるカウンタブル（可算）数コンパクトサブセット（部分集合）たち\(\{S_i\vert i \in J\}\)、ここで、\(J\)はあるカウンタブル（可算）インデックスたちセット（集合）、つまり、\(T_\alpha = \cup_{i \in J} S_i\)、がある。インダクティブ（帰納的）に\({S_i}'\)を以下のように定義しよう、つまり、\({S_0}' := S_0\)、そして、\(1 \leq i\)の\({S_i}'\)に対しては、コンパクトな\({S_{i - 1}}'\)を既に定義済みだと仮定して、\({S_{i - 1}}'\)のオープンカバー（開被覆）を、各ポイント\(p \in {S_{i - 1}}'\)の周りにあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトであるものを取り（それは可能である、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りに、オープンネイバーフッド（開近傍）であってそのクロージャー（閉包）がコンパクトであるものがあるという命題によって）、そして、あるファイナイト（有限）サブカバーを取り（それは可能である、なぜなら、\({S_{i - 1}}'\)はコンパクトである）、そして、当該サブカバー内のオープネイバーフッド（開近傍）たちクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）を\({S_{i - 1}}''\)と表わして、\({S_i}' := S_i \cup {S_{i - 1}}''\)、それは\(T_\alpha\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の有限数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであるという命題によって。\({S_i}'\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。もしも、\({S_i}'\)が\({S_{i - 1}}'\)に等しいことがあれば、それを省略しよう、したがって、私たちは、\({S_{i - 1}}' \subset {S_i}'\)と仮定する。
\(\{{S_i}' \vert i \in J\}\)は\(T_\alpha\)をカバーする、なぜなら、各\(S_i\)は\({S_i}'\)内に包含されていて、\(T_\alpha = \cup_{i \in J} S_i\)。\({S_i}' \subseteq int {S_{i + 1}}'\)、なぜなら、\({S_i}'\)はそのオープンカバー（開被覆）内に包含されていて、それは\({S_{i + 1}}'\)内に包含されている、しかし、当該オープンカバー（開被覆）はオープン（開）であり、\({S_{i + 1}}'\)内に包含されている最大オープンセット（開集合）、それは\(int {S_{i + 1}}'\)である、内に包含されている。
以下のように定義しよう、つまり、\({S_0}''' := {S_0}'\)、そして、\(0 \lt i\)に対して、\({S_i}''' := {S_i}' \setminus int {S_{i - 1}}'\)、それは\({S_i}'\)上で（そして\(T_\alpha\)上で）クローズド（閉）である、そして、当該コンパクトサブスペース（部分空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）として、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって、\({S_i}'\)上でコンパクトである、そして、\(T_\alpha\)上でコンパクトである、by 任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。\({S_i}'''\)は\(j \lt i - 1\)または\(i + 1 \lt j\)のどの\({S_j}'''\)ともインターセクトしない（交わらない）、なぜなら、\({S_i}''' = {S_i}' \setminus int {S_{i - 1}}'\)および\({S_j}''' = {S_j}' \setminus int {S_{j - 1}}'\)であり、\(j \lt i - 1\)の時は、\({S_j}' \subseteq int {S_{i - 1}}'\)、そして、\(i + 1 \lt j\)の時は、\(i, j\)の役割を入れ替えればよい。\(\{{S_i}''' \vert i \in J\}\)は\(T_\alpha\)をカバーする、なぜなら、任意の\(p \in T_\alpha\)に対して、ある\(i\)に対して、\(p \in {S_i}'\)、そして、もしも、\(p \notin int {S_{i - 1}}'\)であれば、\(p \in {S_i}'''\)、そうでなければ、\(p \in {S_{i - 1}}'\)、もしも、\(p \notin int {S_{i - 2}}'\)であれば、\(p \in {S_{i - 1}}'''\)、そうでなければ、\(p \in {S_{i - 2}}'\)、等々、結局、少なくとも、\(p \in {S_0}' = {S_0}'''\)。
任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題および and 任意のコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題によって、\({S_i}'''\)はノーマル（正規）である。\({S_i}'''\)に対して、\({S_i}' \setminus int {S_i}'\)は\({S_i}'''\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\(int {S_i}'\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）である、\(int {S_i}' \cap {S_i}'''\)は\({S_i}'''\)上でオープン（開）である、\({S_i}' \setminus int {S_i}' = {S_i}''' \setminus (int {S_i}' \cap {S_i}''')\)。任意の\(0 \lt i\)に対して、\({S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 1}}'\)は\({S_i}'''\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\({S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 1}}' = {S_{i - 1}}' \cap {S_i}'''\)、しかし、\({S_{i - 1}}'\)は\(T_\alpha\)上でクローズド（閉）である、そして、\({S_{i - 1}}' \cap {S_i}'''\)は\({S_i}'''\)上でクローズド（閉）である。\(({S_i}' \setminus int {S_i}') \cap ({S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 1}}') = \emptyset\)、なぜなら、\({S_{i - 1}}' \subseteq int {S_i}'\)。
Let us take take \(U_{0, 1} = \emptyset\). If \({S_0}' \setminus int {S_0}' \neq \emptyset\), let us take\(U_{0, 2} = {S_0}'''\). If \({S_0}' \setminus int {S_0}' = \emptyset\), let us take \(U_{0, 1} = \emptyset\). \(U_{0, 1} = \emptyset\)と取ろう。もしも、\({S_0}' \setminus int {S_0}' \neq \emptyset\)であれば、\(U_{0, 2} = {S_0}'''\)と取ろう。もしも、\({S_0}' \setminus int {S_0}' = \emptyset\)であれば、\(U_{0, 1} = \emptyset\)と取ろう。
以下5パラグラフたちは\(0 \lt i\)に対するものである。
もしも、\({S_i}' \setminus int {S_i}' \neq \emptyset\)かつ\({S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 1}}' \neq \emptyset\)であれば、\({S_i}'''\)はノーマル（正規）であるから、以下を満たすいくつかのディスジョイントオープン（開）（\({S_i}'''\)上で）サブセット（部分集合）たち\(U_{i, 1} \subseteq {S_i}'''\)および\(U_{i, 2} \subseteq {S_i}'''\)、つまり、\({S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 1}}' \subseteq U_{i, 1}\)および\({S_i}' \setminus int {S_i}' \subseteq U_{i, 2}\)で\(U_{i, 1} \cap U_{i, 2} = \emptyset\)、がある。
もしも、\({S_i}' \setminus int {S_i}' \neq \emptyset\)かつ\({S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 1}}' = \emptyset\)であれば、\(U_{i, 1} = \emptyset\)、\({S_i}'''\)上でオープン（開）、および\(U_{i, 2} = {S_i}'''\)、\({S_i}'''\)上でオープン（開）、を取る。
もしも、\({S_i}' \setminus int {S_i}' = \emptyset\)かつ\({S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 1}}' \neq \emptyset\)であれば、\(U_{i, 1} = {S_i}'''\)、\({S_i}'''\)上でオープン（開）、および\(U_{i, 2} = \emptyset\)、\({S_i}'''\).上でオープン（開）、を取る。
もしも、\({S_i}' \setminus int {S_i}' = \emptyset\)かつ\({S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 1}}' = \emptyset\)であれば、\(U_{i, 1} = \emptyset\)、\({S_i}'''\)上でオープン（開）、および\(U_{i, 2} = \emptyset\)、\({S_i}'''\)上でオープン（開）、を取る。
各ケースにおいて、\({S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 1}}' \subseteq U_{i, 1}\)および\({S_i}' \setminus int {S_i}' \subseteq U_{i, 2}\)および\(U_{i, 1} \cap U_{i, 2} = \emptyset\)。
以下のように定義しよう、つまり、\({S_0}'''' := {S_0}''' \cup U_{1, 1}\)、および、\(0 \lt i\)に対して、\({S_i}'''' := {S_i}''' \cup U_{i - 1, 2} \cup U_{i + 1, 1}\)。いずれにせよ、\({S_i}''''\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）である、それは、次の6パラグラフたちの中で証明される。
\({S_0}'''' = U_{1, 1} \cup int {S_0}'\)および\({S_i}'''' = (U_{i + 1, 1} \cup (int {S_i}' \setminus {S_{i - 1}'})) \cup (U_{i - 1, 2} \cup (int {S_i}' \setminus S_{i - 1}'))\)。
もしも、\(U_{1, 1}\)が空でなければ、任意のポイント\(p \in U_{1, 1}\)の周りに、あるオープン（開）（\({S_{1}}'''上で\)）ネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq U_{1, 1}\)がある; \(N_p = {N_p}' \cap {S_{1}}'''\)、ここで、\({N_p}'\)は\(p\)の\(T_\alpha\)上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）、\({N_p}'' := {N_p}' \cap int {S_{1}}'\)を代わりに使える、なぜなら、いずれにせよ\({N_p}'' \cap {S_{1}}''' = N_p\)、なぜなら、\(N_p \subseteq U_{1, 1} \subseteq int {S_{1}}'\)（なぜなら、\(U_{1, 1} \subseteq {S_{1}}''' \setminus U_{1, 2}\)および\({S_{1}}' \setminus int {S_{1}}' \subseteq U_{1, 2}\)、したがって、\(U_{1, 1} \subseteq {S_{1}}''' \setminus ({S_{1}}' \setminus int {S_{1}}') = ({S_{1}}' \setminus int {S_0}') \setminus ({S_{1}}' \setminus int {S_{1}}') = int {S_{1}}' \setminus int {S_0}' \subseteq int {S_{1}}'\)）、しかし、\({N_p}'' \subseteq U_{1, 1} \cup int {S_0}'\)、なぜなら、そうでなければ、\({N_p}'' \subseteq int {S_{1}}'\)であるから、もしも、以下を満たすあるポイント\(p' \in {N_p}''\)、つまり、\(p' \in int {S_{1}}' \setminus (U_{1, 1} \cup int {S_0}')\)、それが意味するのは、\(p' \notin U_{1, 1}\)、があったら、\(p' \in {S_{1}}''' = {S_{1}}' \setminus int {S_0}'\)、したがって、\(p' \in {N_p}'' \cap {S_{1}}''' = N_p \subseteq U_{1, 1}\)、\(p' \notin U_{1, 1}\)に反する矛盾;任意のポイント\(p \in int {S_0}'\)の周りに、あるオープン（開）（\(T_\alpha\)上で）ネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq int {S_0}'\)がある、なぜなら、\(int {S_0}'\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）;したがって、\(U_{1, 1} \cup int {S_0}'\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）である。
以下の2パラグラフたちは\(0 \lt i\)に対するものである。
\(U_{i + 1, 1} \cup (int {S_i}' \setminus {S_{i - 1}'}) = (U_{i + 1, 1} \cup int {S_i}') \setminus {S_{i - 1}'}\)、なぜなら、\({S_{i - 1}}'\)は\(U_{i + 1, 1}\)とインターセクトしない（交わらない）（なぜなら、\({S_{i - 1}}' \subseteq int {S_i}'\)および\(U_{i + 1, 1} \subseteq {S_{i + 1}}''' = {S_{i + 1}}' \setminus int {S_i}'\)）)、そして、もしも、\(U_{i + 1, 1}\)が空でない場合、任意のポイント\(p \in U_{i + 1, 1}\)の周りに、あるオープン（開）（\({S_{i + 1}}'''\)上で）ネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq U_{i + 1, 1}\)がある; \(N_p = {N_p}' \cap {S_{i + 1}}'''\)、ここで、\({N_p}'\)は\(p\)の\(T_\alpha\)上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）、\({N_p}'' := {N_p}' \cap int {S_{i + 1}}'\)を代わりに使える、なぜなら、いずれにせよ\({N_p}'' \cap {S_{i + 1}}''' = N_p\)、なぜなら、\(N_p \subseteq U_{i + 1, 1} \subseteq int {S_{i + 1}}'\)（なぜなら、\(U_{i + 1, 1} \subseteq {S_{i + 1}}''' \setminus U_{i + 1, 2}\)および\({S_{i + 1}}' \setminus int {S_{i + 1}}' \subseteq U_{i + 1, 2}\)、したがって、\(U_{i + 1, 1} \subseteq {S_{i + 1}}''' \setminus ({S_{i + 1}}' \setminus int {S_{i + 1}}') = ({S_{i + 1}}' \setminus int {S_i}') \setminus ({S_{i + 1}}' \setminus int {S_{i + 1}}') = int {S_{i + 1}}' \setminus int {S_i}' \subseteq int {S_{i + 1}}'\)）、しかし、\({N_p}'' \subseteq U_{i + 1, 1} \cup int {S_i}'\)、なぜなら、そうでなければ、\({N_p}'' \subseteq int {S_{i + 1}}'\)であるから、もしも、以下を満たすあるポイント\(p' \in {N_p}''\)、つまり、\(p' \in int {S_{i + 1}}' \setminus (U_{i + 1, 1} \cup int {S_i}')\)、それは\(p' \notin U_{i + 1, 1}\)を意味することになる、があったら、\(p' \in {S_{i + 1}}''' = {S_{i + 1}}' \setminus int {S_i}'\)、したがって、\(p' \in {N_p}'' \cap {S_{i + 1}}''' = N_p \subseteq U_{i + 1, 1}\)、\(p' \notin U_{i + 1, 1}\)に反する矛盾; 任意のポイント\(p \in int {S_i}'\)の周りに、あるオープン（開）（\(T_\alpha\)上で）ネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq int {S_i}'\)がある、なぜなら、\(int {S_i}'\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）である; したがって、\(U_{i + 1, 1} \cup int {S_i}'\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）である、そして、\((U_{i + 1, 1} \cup int {S_i}') \setminus {S_{i - 1}'}\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）である、任意のオープンセット（開集合）マイナス任意のクローズドセット（閉集合）はオープン（開）であるという命題によって。
\(U_{i - 1, 2} \cup (int {S_i}' \setminus S_{i - 1}')\)に関しては、もしも、\(U_{i - 1, 2}\)が空でなければ、任意のポイント\(p \in U_{i - 1, 2}\)の周りに、あるオープン（開）（\({S_{i - 1}}'''\)上で）ネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq U_{i - 1, 2}\)がある、\(N_p = {N_p}' \cap {S_{i - 1}}'''\)、ここで、\({N_p}'\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）、\({N_p}'' = {N_p}' \cap (int {S_i}' \setminus {S_{i - 2}}')\)を代わりに使える、なぜなら、いずれにせよ\({N_p}'' \cap {S_{i - 1}}''' = N_p\)、なぜなら、\(N_p \subseteq U_{i - 1, 2} \subseteq int {S_i}' \setminus {S_{i - 2}}'\)（なぜなら、\(U_{i - 1, 2} \subseteq {S_{i - 1}''' \setminus U_{i - 1, 1}\)および\({S_{i - 2}}' \setminus int {S_{i - 2}}' \subseteq U_{i - 1, 1}\)、したがって、\(U_{i - 1, 2} \subseteq {S_{i - 1}}''' \setminus ({S_{i - 2}}' \setminus int {S_{i - 2}}') = ({S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 2}}') \setminus ({S_{i - 2}}' \setminus int {S_{i - 2}}') = {S_{i - 1}}' \setminus {S_{i - 2}}' \subseteq int {S_i}' \setminus {S_{i - 2}}'\)、\({S_{i - 1}}' \setminus int {S_i}'\)であるから）、しかし、\({N_p}'' \subseteq U_{i - 1, 2} \cup (int {S_i}' \setminus S_{i - 1}')\)、なぜなら、そうでなければ、\({N_p}'' \subseteq int {S_i}' \setminus {S_{i - 2}}'\)であるから、もしも、以下を満たすあるポイント\(p' \in {N_p}''\)、つまり、\(p' \in (int {S_i}' \setminus {S_{i - 2}}') \setminus (U_{i - 1, 2} \cup (int {S_i}' \setminus S_{i - 1}'))\)、それが意味するのは、\(p' \notin U_{i - 1, 2}\)、があったら、\(p' \in {S_{i - 1}}''' = {S_{i - 1}}' \setminus int {S_{i - 2}}'\)、なぜなら、\(p' \in {S_{i - 1}}'\)（なぜなら、そうでなければ、\(p' \in int {S_i}' \setminus {S_{i - 1}}'\)、すると、\(p' \notin (int {S_i}' \setminus {S_{i - 2}}') \setminus (U_{i - 1, 2} \cup (int {S_i}' \setminus S_{i - 1}'))\)、矛盾）および\(p' \notin {S_{i - 2}}'\)、したがって、\(p' \in {N_p}'' \cap {S_{i - 1}}''' = N_p \subseteq U_{i - 1, 2}\)、\(p' \notin U_{i - 1, 2}\)に反する矛盾;任意のポイント\(p \in int {S_i}' \setminus S_{i - 1}'\)に対して、あるオープン（開）（\(T_\alpha\)上で）ネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq int {S_i}' \setminus S_{i - 1}'\)がある、なぜなら、\(int {S_i}' \setminus S_{i - 1}'\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）であるから、任意のオープンセット（開集合）マイナス任意のクローズドセット（閉集合）はオープン（開）であるという命題によって、したがって、\(U_{i - 1, 2} \cup (int {S_i}' \setminus S_{i - 1}')\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）である。
したがって、\({S_i}''''\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）である。
\({S_i}''''\)は\(j \lt i - 1\)または\(i + 1 \lt j\)のどの\({S_{j}}''''\)ともインターセクトしない（交わらない）、なぜなら、\(j = i - 2\)に対して、もしも、\(0 \lt i - 2\)であれば、\({S_{i - 2}}'''' = {S_{i - 2}}''' \cup U_{i - 3, 2} \cup U_{i - 1, 1}\)および\({S_{i}}'''' = {S_{i}}''' \cup U_{i - 1, 2} \cup U_{i + 1, 1}\)、\({S_{i - 2}}''' \cap {S_{i}}''' = \emptyset\)および\(U_{i - 1, 1} \cap U_{i - 1, 2} = \emptyset\)で、その他のコンビネーションたちは明らかに空である;もしも、\(0 = i - 2\)であれば、単に\(U_{i - 3, 2}\)が存在しないだけで主張は成り立つ;\(j \lt i - 2\)に対しては、事はより明らかである;\(i + 1 \lt j\)に対しては、\(i, j\)の役割を入れ替えればよい。
さて、\(T_\alpha\)の任意のオープンカバー（開被覆）\(\{V_\beta\vert \beta \in B\}\)、ここで、\(B\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、それは、各\({S_i}'''\)のオープンカバー（開被覆）である、そして、\({S_i}'''\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー\(\{V_{i, j} \vert j \in J_i\}\)、ここで、\(J_i\)は\(i\)に依存するファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、がある、そして、\(\{{V_{i, j}}' := V_{i, j} \cap {S_i}'''' \vert j \in J_i\}\)、それは、\({S_i}'''\)のオープンカバー（開被覆）であり、\({S_i}''''\)に包含されている、を取ろう。
\(\cup_i \{{V_{i, j}}' \vert j \in J_i\}\)は元のオープンカバー（開被覆）のあるローカルにファイナイト（有限）なリファインメント（洗練）である、なぜなら、もしも、それはオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、\(T_\alpha\)は\(\{{S_i}'''\}\)によってカバーされており、各\({S_i}'''\)はそれによってカバーされているから;それはリファインメント（洗練）である、なぜなら、\({V_{i, j}}' \subseteq V_{i, j} = V_\beta\); それはローカルにファイナイト（有限）である、なぜなら、任意のポイント\(p \in T_\alpha\)に対して、ある\(i\)に対して、\(p \in {S_i}'''\)、\({S_i}''''\)は\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\({S_{i - 1}}''''\)および\({S_{i + 1}}''''\)のみとインターセクトし（交わり）、したがって、\({S_{i - 1}}''''\)、\({S_{i}}''''\)、\({S_{i + 1}}''''\)に包含されている有限の\({V_{i, j}}'\)たちのみとインターセクトする（交わる）。
したがって、各\(T_\alpha\)はパラコンパクトであり、\(T = \{T_\alpha\vert \alpha \in A\}\)はパラコンパクトである。
\(T\)はパラコンパクトであると仮定しよう。
\(T\)のオープンカバー（開被覆）を以下のように取ろう、つまり、各ポイント\(p \in T\)の周りにあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトであるものを取る、それは可能である、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りに、オープンネイバーフッド（開近傍）であってそのクロージャー（閉包）がコンパクトであるものがあるという命題によって。\(T\)はパラコンパクトであるから、あるローカルにファイナイト（有限）なリファインメント（洗練）があるが、任意の新オープンネイバーフッド（開近傍）のクロージャー（近傍）は対応する元のネイバーフッド（近傍）のコンパクトクロージャーに包含されており、コンパクトサブスペース（部分空間）内のクローズドセット（閉集合）として、新クロージャー（閉包）は元のクロージャー（閉包）上でコンパクトであり\(T\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。本リファインメント（洗練）を\(\{U_\beta\vert \beta \in B\}\)、ここで、\(B\)はあるアンカウンタブルかもしれないインデックスたちセット（集合）、と表わそう。
インダクティブ（帰納的）に、オープンセット（開集合）たち\(\{V_{\beta, i}\}\)でそれらのクロージャー（閉包）たちがコンパクトであるものたちのあるシーケンス（列）を定義しよう、各\(U_\beta\)から開始して。\(V_{\beta, 0} := U_\beta\);\(0 \lt i\)である\(V_{\beta, i}\)に対して、\(\overline{V_{\beta, i - 1}}\)とインターセクトする（交わる）全ての\(U_\beta\)たち、その数は有限である、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のローカルに有限なカバーに対して、任意のコンパクトサブセット（部分集合）は当該カバーの有限数要素たちのみとインターセクトするという命題によって、を取る。それらの\(U_\beta\)たちは\(\overline{V_{\beta, i - 1}}\)のあるオープンカバー（開被覆）を形成する、そして、\(V_{\beta, i}\)をそれら\(U_\beta\)たちのユニオン（和集合）として定義しよう。\(\overline{V_{\beta, i}}\)は それら\(U_\beta\)たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）である、任意の有限数サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、そして、コンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の有限数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであるという命題によって。\(\overline{V_{\beta, i}} \subseteq V_{\beta, i + 1}\)。
\(V_\beta := \cup_i V_{\beta, i}\)、それはいくつかのカウンタブル（可算）\(U_\beta\)たちのユニオン（和集合）である。\(\overline{V_\beta}\)はそれら\(U_\beta\)たちのクロージャー（ 閉包）たちのユニオン（和集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）に対して、当該カバー（被覆）内の任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該オープンセット（開集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、しかし、各クロージャー（閉包）はある\(\overline{V_{\beta, i}}\)に包含されている、しかし、\(\overline{V_{\beta, i}} \subseteq V_{\beta, i + 1} \subseteq V_\beta\)、したがって、\(\overline{V_\beta} = V_\beta\)。\(V_\beta\)は\(\sigma\)コンパクトである。
\(\{V_\beta\vert \beta \in B\}\)は\(T\)をカバーする、なぜなら、任意のポイント\(p \in T\)に対して、以下を満たすある\(U_\beta\)、つまり、\(p \in U_\beta\)、がある、そして、\(p \in V_\beta\)。
\(\alpha, \beta \in B\)である任意の\(V_\alpha, V_\beta\)に対して、\(V_\alpha = V_\beta\)または\(V_\alpha \cap V_\beta = \emptyset\)であることを証明しよう。
\(V_\alpha \cap V_\beta \neq \emptyset\)であると仮定しよう。あるポイント\(p \in V_\alpha \cap V_\beta\)および以下を満たすある\(U_\gamma\)、つまり、\(\gamma \in B, p \in U_\gamma\)、がある。\(U_\gamma \subseteq V_\alpha\)、なぜなら、ある\(i\)に対して、\(U_\gamma \cap \overline{V_{\alpha, i}} \neq \emptyset\)、したがって、\(U_\gamma \subseteq V_{\alpha, i + 1} \subseteq V_\alpha\)。\(V_\gamma \subseteq V_\alpha\)、なぜなら、そうでなければ、\(V_\gamma \cap (T \setminus V_\alpha) \neq \emptyset\);以下を満たすある\(i\)、つまり、\(V_{\gamma, i} \subseteq V_\alpha\)、（したがって、\(\overline{V_{\gamma, i}} \subseteq V_\alpha\)、\(V_\alpha\)はクローズド（閉）であるから）および以下を満たすある\(\delta \in B\)、つまり、\(U_\delta \cap \overline{V_{\gamma, i}} \neq \emptyset\)および\(U_\delta \cap (T \setminus V_\alpha) \neq \emptyset\)、があることになる、なぜなら、\(V_{\gamma, 0} \subseteq V_\alpha\)で、\(V_{\gamma, i}\)はある\(i\)において\(V_\alpha\)の外に出なければならないだろうから、しかし、ある\(j\)に対して、\(U_\delta \cap \overline{V_{\alpha, j}} \neq \emptyset\)、なぜなら、\(\overline{V_{\gamma, i}} \subseteq V_\alpha\)および\(U_\delta \cap \overline{V_{\gamma, i}} \neq \emptyset\)、すると、\(U_\delta \subseteq V_{\alpha, j + 1} \subseteq V_\alpha\)、\(U_\delta \cap (T \setminus V_\alpha) \neq \emptyset\)に反する矛盾。
しかし、実のところ、\(V_\gamma = V_\alpha\)である、以下のように証明されるとおり。
\(V_\gamma \subset V_\alpha\)だと仮定しよう。
\(V_\alpha\)は\(U_\alpha\)から生成され、\(U_\alpha \subseteq V_\alpha\)、しかし、\(U_\alpha \subseteq V_\gamma\)または\(U_\alpha \subseteq V_\alpha \setminus V_\gamma\)、なぜなら、そうでなければ、\(\lnot U_\alpha \subseteq V_\gamma\)および\(U_\alpha \cap V_\gamma \neq \emptyset\)であるから、すると、ある\(i\)に対して、\(U_\alpha \cap \overline{V_{\gamma, i}} \neq \emptyset\)であるから、\(U_\alpha \subseteq V_{\gamma, i + 1} \subseteq V_\gamma\)、矛盾。
もしも、\(U_\alpha \subseteq V_\gamma\)であったら、ある\(i\)に対して、\(V_{\alpha, i} \subseteq V_\gamma\)（なぜなら、少なくとも\(V_{\alpha, 0} \subseteq V_\gamma\)）、\(\overline{V_{\alpha, i}} \subseteq V_\gamma\)、なぜなら、\(V_\gamma\)はクローズド（閉）である、すると、以下を満たすある\(U_\beta\)、つまり、ある\(i\)に対して、\(\overline{V_{\alpha, i}} \cap U_\beta \neq \emptyset\)および\(U_\beta \cap (V_\alpha \setminus V_\gamma) \neq \emptyset\)があることになる（\(V_{\alpha, i + 1}\)が\(V_\gamma\)の内側に居続けないために）、しかし、すると、\(U_\beta \cap V_\gamma \neq \emptyset\)、\(\overline{V_{\alpha, i}} \subseteq V_\gamma\)であるから、ある\(j\)に対して、\(\overline{V_{\gamma, j}} \cap U_\beta \neq \emptyset\)、したがって、\(U_\beta \subseteq V_{\gamma, j + 1} \subseteq V_\gamma\)、\(U_\beta \cap (V_\alpha \setminus V_\gamma) \neq \emptyset\)に反する矛盾、したがって、\(U_\alpha \subseteq V_\gamma\)は不可能である。
もしも、\(U_\alpha \subseteq V_\alpha \setminus V_\gamma\)であったら、ある\(i\)に対して、\(V_{\alpha, i} \cap V_\gamma = \emptyset\)（なぜなら、少なくとも\(V_{\alpha, 0} \cap V_\gamma = \emptyset\))、したがって、\(\overline{V_{\alpha, i}} \cap V_\gamma = \emptyset\)、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）であるという命題によって、そして、\(V_{\alpha, i + 1} \cap V_\gamma = \emptyset\)、なぜなら、そうでなければ、以下を満たす\(U_\beta\)、つまり、\(\overline{V_{\alpha, i}} \cap U_\beta \neq \emptyset\)および\(U_\beta \cap V_\gamma \neq \emptyset\)、があることになる、しかし、すると、ある\(j\)に対して、\(U_\beta \cap V_{\gamma, j} \neq \emptyset\)、\(U_\beta \subseteq V_{\gamma, j + 1} \subseteq V_\gamma\)、それは、\(\overline{V_{\alpha, i}} \cap V_\gamma = \emptyset\)および\(\overline{V_{\alpha, i}} \cap U_\beta \neq \emptyset\)、それが意味するのは、以下を満たすある\(p \in \overline{V_{\alpha, i}} \cap U_\beta\)、つまり、\(p \notin V_\gamma\)、があるということ、に矛盾することになる、したがって、\(p \in U_\beta\)および\(p \notin V_\gamma\)、それは\(U_\beta \subseteq V_\gamma\)に矛盾することになる。したがって、\(V_\alpha \cap V_\gamma = \emptyset\)、それは\(V_\gamma \subset V_\alpha\)に矛盾する、したがって、\(U_\alpha \subseteq V_\alpha \setminus V_\gamma\)は不可能である。
したがって、\(V_\gamma \subset V_\alpha\)は間違いだったのであり、\(V_\gamma = V_\alpha\)。
同様に、\(V_\gamma = V_\beta\)。
したがって、\(V_\alpha = V_\beta\)。
したがって、\(\{V_\beta\vert \beta \in B\}\)の重複を除いたもの\(\{T_\alpha\vert \alpha \in A \subseteq B\}\)、ここで、ある\(\beta \in B\)に対して、\(T_\alpha = V_\beta\)、は\(T\)のあるディスジョイント（互いに素な）オープン（開）カバーであり、\(T = \cup_\alpha T_\alpha\)はいくつかのディスジョイント（互いに素な）オープン（開）\(\sigma\)コンパクトサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）である。
