ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)はパラコンパクトである、もしも、スペース(空間)はオープン(開)
話題
About: トポロジカルスペース(空間)
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース(空間)の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の定義を知っている。
- 読者は、パラコンパクトトポロジカルスペース(空間)の定義を知っている。
-
読者は、
コンパクトトポロジカルスペース(空間)の定義を知っている。 - 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の任意のサブスペース(部分空間)はハウスドルフであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の任意のオープン(開)サブスペース(部分空間)はローカルにコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のアンカウンタブル(不可算)数かもしれないパラコンパクトトポロジカルスペース(空間)たちのトポロジカルサムはパラコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)に対して、任意の有限数コンパクトサブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース(空間)の任意のクローズドサブセット(閉部分集合)はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の任意のコンパクトサブセット(部分集合)はクローズド(閉)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のサブスペース(部分空間)の任意のコンパクトサブセット(部分集合)はベーススペース(空間)上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース(空間)はノーマル(正規)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のオープンセット(開集合)マイナス任意のクローズドセット(閉集合)はオープン(開)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)の任意のローカルに有限なカバーに対して、任意のコンパクトサブセット(部分集合)は当該カバーの有限数要素たちのみとインターセクトするという命題を認めている。
- 読者は、任意の有限数サブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)のクロージャー(閉包)は当該サブセット(部分集合)たちのクロージャー(閉包)たちのユニオン(和集合)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)の任意のローカルに有限なオープンカバー(開被覆)に対して、当該カバー(被覆)内の任意のアンカウンタブル(不可算)かもしれないオープンセット(開集合)たちのユニオン(和集合)のクロージャー(閉包)は当該オープンセット(開集合)たちのクロージャー(閉包)たちのユニオン(和集合)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント(互いに素)なサブセット(部分集合)とオープンセット(開集合)に対して、サブセット(部分集合)のクロージャー(閉包)とオープンセット(開集合)はディスジョイント(互いに素)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のポイントの周りに、オープンネイバーフッド(開近傍)であってそのクロージャー(閉包)がコンパクトであるものがあるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
-
読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)はパラコンパクトである、もしも、当該スペース(空間)はいくつかのディスジョイント(互いに素な)オープン(開)
コンパクトサブスペース(部分空間)たちのユニオン(和集合)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)
2: 証明
任意のハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の任意のサブスペース(部分空間)はハウスドルフであるという命題および任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の任意のオープン(開)サブスペース(部分空間)はローカルにコンパクトであるという命題によって、各
以下のように定義しよう、つまり、
任意のハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の任意のサブスペース(部分空間)はハウスドルフであるという命題および and 任意のコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース(空間)はノーマル(正規)であるという命題によって、
Let us take take
以下5パラグラフたちは
もしも、
もしも、
もしも、
もしも、
各ケースにおいて、
以下のように定義しよう、つまり、
もしも、
以下の2パラグラフたちは
したがって、
さて、
したがって、各
インダクティブ(帰納的)に、オープンセット(開集合)たち
しかし、実のところ、
もしも、
もしも、
したがって、
同様に、
したがって、
したがって、