2023年7月16日日曜日

323: ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)はパラコンパクトである、もしも、スペース(空間)はオープン(開)\sigmaコンパクトサブスペース(部分空間)たちのディスジョイント(互いに素な)ユニオン(和集合)である場合、そしてその場合に限って

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ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)はパラコンパクトである、もしも、スペース(空間)はオープン(開)σコンパクトサブスペース(部分空間)たちのディスジョイント(互いに素な)ユニオン(和集合)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)はパラコンパクトである、もしも、当該スペース(空間)はいくつかのディスジョイント(互いに素な)オープン(開)σコンパクトサブスペース(部分空間)たちのユニオン(和集合)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。


本体


1: 記述


任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)Tに対して、Tはパラコンパクトである、もしも、Tはいくつかのディスジョイント(互いに素な)オープン(開)σコンパクトサブスペース(部分空間)たち{Tα|αA}、ここで、Aはアンカウンタブル(不可算)かもしれない任意のインデックスたちセット(集合)、のユニオン(和集合)である場合、そしてその場合に限って。 


2: 証明


Tはいくつかのディスジョイント(互いに素な)オープン(開)σコンパクトサブスペース(部分空間)たち{Tα|αA}のユニオン(和集合)であると仮定しよう。

任意のハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の任意のサブスペース(部分空間)はハウスドルフであるという命題および任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の任意のオープン(開)サブスペース(部分空間)はローカルにコンパクトであるという命題によって、各Tαはローカルにコンパクトハウスドルフである。もしも、各Tαがパラコンパクトであれば、T={Tα|αA}はパラコンパクトであるだろう、任意のアンカウンタブル(不可算)数かもしれないパラコンパクトトポロジカルスペース(空間)たちのトポロジカルサムはパラコンパクトであるという命題内の"注"によって。

σコンパクト性の定義によって、以下を満たすあるカウンタブル(可算)数コンパクトサブセット(部分集合)たち{Si|iJ}、ここで、Jはあるカウンタブル(可算)インデックスたちセット(集合)、つまり、Tα=iJSi、がある。インダクティブ(帰納的)にSiを以下のように定義しよう、つまり、S0:=S0、そして、1iSiに対しては、コンパクトなSi1を既に定義済みだと仮定して、Si1のオープンカバー(開被覆)を、各ポイントpSi1の周りにあるオープンネイバーフッド(開近傍)でそのクロージャー(閉包)がコンパクトであるものを取り(それは可能である、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のポイントの周りに、オープンネイバーフッド(開近傍)であってそのクロージャー(閉包)がコンパクトであるものがあるという命題によって)、そして、あるファイナイト(有限)サブカバーを取り(それは可能である、なぜなら、Si1はコンパクトである)、そして、当該サブカバー内のオープネイバーフッド(開近傍)たちクロージャー(閉包)たちのユニオン(和集合)をSi1と表わして、Si:=SiSi1、それはTα上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース(空間)に対して、任意の有限数コンパクトサブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)はコンパクトであるという命題によって。Siはクローズド(閉)である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の任意のコンパクトサブセット(部分集合)はクローズド(閉)であるという命題によって。もしも、SiSi1に等しいことがあれば、それを省略しよう、したがって、私たちは、Si1Siと仮定する。

{Si|iJ}Tαをカバーする、なぜなら、各SiSi内に包含されていて、Tα=iJSiSiintSi+1、なぜなら、Siはそのオープンカバー(開被覆)内に包含されていて、それはSi+1内に包含されている、しかし、当該オープンカバー(開被覆)はオープン(開)であり、Si+1内に包含されている最大オープンセット(開集合)、それはintSi+1である、内に包含されている。

以下のように定義しよう、つまり、S0:=S0、そして、0<iに対して、Si:=SiintSi1、それはSi上で(そしてTα上で)クローズド(閉)である、そして、当該コンパクトサブスペース(部分空間)のクローズドサブセット(閉部分集合)として、任意のコンパクトトポロジカルスペース(空間)の任意のクローズドサブセット(閉部分集合)はコンパクトであるという命題によって、Si上でコンパクトである、そして、Tα上でコンパクトである、by 任意のトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のサブスペース(部分空間)の任意のコンパクトサブセット(部分集合)はベーススペース(空間)上でコンパクトであるという命題によって。Sij<i1またはi+1<jのどのSjともインターセクトしない(交わらない)、なぜなら、Si=SiintSi1およびSj=SjintSj1であり、j<i1の時は、SjintSi1、そして、i+1<jの時は、i,jの役割を入れ替えればよい。{Si|iJ}Tαをカバーする、なぜなら、任意のpTαに対して、あるiに対して、pSi、そして、もしも、pintSi1であれば、pSi、そうでなければ、pSi1、もしも、pintSi2であれば、pSi1、そうでなければ、pSi2、等々、結局、少なくとも、pS0=S0


任意のハウスドルフトポロジカルスペース(空間)の任意のサブスペース(部分空間)はハウスドルフであるという命題および and 任意のコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース(空間)はノーマル(正規)であるという命題によって、Siはノーマル(正規)である。Siに対して、SiintSiSi上でクローズド(閉)である、なぜなら、intSiTα上でオープン(開)である、intSiSiSi上でオープン(開)である、SiintSi=Si(intSiSi)。任意の0<iに対して、Si1intSi1Si上でクローズド(閉)である、なぜなら、Si1intSi1=Si1Si、しかし、Si1Tα上でクローズド(閉)である、そして、Si1SiSi上でクローズド(閉)である。(SiintSi)(Si1intSi1)=、なぜなら、Si1intSi

Let us take take U0,1=. If S0intS0, let us takeU0,2=S0. If S0intS0=, let us take U0,1=. U0,1=と取ろう。もしも、S0intS0であれば、U0,2=S0と取ろう。もしも、S0intS0=であれば、U0,1=と取ろう。

以下5パラグラフたちは0<iに対するものである。

もしも、SiintSiかつSi1intSi1であれば、Siはノーマル(正規)であるから、以下を満たすいくつかのディスジョイントオープン(開)(Si上で)サブセット(部分集合)たちUi,1SiおよびUi,2Si、つまり、Si1intSi1Ui,1およびSiintSiUi,2Ui,1Ui,2=、がある。

もしも、SiintSiかつSi1intSi1=であれば、Ui,1=Si上でオープン(開)、およびUi,2=SiSi上でオープン(開)、を取る。

もしも、SiintSi=かつSi1intSi1であれば、Ui,1=SiSi上でオープン(開)、およびUi,2=Si.上でオープン(開)、を取る。

もしも、SiintSi=かつSi1intSi1=であれば、Ui,1=Si上でオープン(開)、およびUi,2=Si上でオープン(開)、を取る。

各ケースにおいて、Si1intSi1Ui,1およびSiintSiUi,2およびUi,1Ui,2=

以下のように定義しよう、つまり、S0:=S0U1,1、および、0<iに対して、Si:=SiUi1,2Ui+1,1。いずれにせよ、SiTα上でオープン(開)である、それは、次の6パラグラフたちの中で証明される。


S0=U1,1intS0およびSi=(Ui+1,1(intSiSi1))(Ui1,2(intSiSi1))

もしも、U1,1が空でなければ、任意のポイントpU1,1の周りに、あるオープン(開)(S1)ネイバーフッド(近傍)NpU1,1がある; Np=NpS1、ここで、NppTα上のあるオープンネイバーフッド(開近傍)、Np:=NpintS1を代わりに使える、なぜなら、いずれにせよNpS1=Np、なぜなら、NpU1,1intS1(なぜなら、U1,1S1U1,2およびS1intS1U1,2、したがって、U1,1S1(S1intS1)=(S1intS0)(S1intS1)=intS1intS0intS1)、しかし、NpU1,1intS0、なぜなら、そうでなければ、NpintS1であるから、もしも、以下を満たすあるポイントpNp、つまり、pintS1(U1,1intS0)、それが意味するのは、pU1,1、があったら、pS1=S1intS0、したがって、pNpS1=NpU1,1pU1,1に反する矛盾;任意のポイントpintS0の周りに、あるオープン(開)(Tα上で)ネイバーフッド(近傍)NpintS0がある、なぜなら、intS0Tα上でオープン(開);したがって、U1,1intS0Tα上でオープン(開)である。

以下の2パラグラフたちは0<iに対するものである。

Ui+1,1(intSiSi1)=(Ui+1,1intSi)Si1、なぜなら、Si1Ui+1,1とインターセクトしない(交わらない)(なぜなら、Si1intSiおよびUi+1,1Si+1=Si+1intSi))、そして、もしも、Ui+1,1が空でない場合、任意のポイントpUi+1,1の周りに、あるオープン(開)(Si+1上で)ネイバーフッド(近傍)NpUi+1,1がある; Np=NpSi+1、ここで、NppTα上のあるオープンネイバーフッド(開近傍)、Np:=NpintSi+1を代わりに使える、なぜなら、いずれにせよNpSi+1=Np、なぜなら、NpUi+1,1intSi+1(なぜなら、Ui+1,1Si+1Ui+1,2およびSi+1intSi+1Ui+1,2、したがって、Ui+1,1Si+1(Si+1intSi+1)=(Si+1intSi)(Si+1intSi+1)=intSi+1intSiintSi+1)、しかし、NpUi+1,1intSi、なぜなら、そうでなければ、NpintSi+1であるから、もしも、以下を満たすあるポイントpNp、つまり、pintSi+1(Ui+1,1intSi)、それはpUi+1,1を意味することになる、があったら、pSi+1=Si+1intSi、したがって、pNpSi+1=NpUi+1,1pUi+1,1に反する矛盾; 任意のポイントpintSiの周りに、あるオープン(開)(Tα上で)ネイバーフッド(近傍)NpintSiがある、なぜなら、intSiTα上でオープン(開)である; したがって、Ui+1,1intSiTα上でオープン(開)である、そして、(Ui+1,1intSi)Si1Tα上でオープン(開)である、任意のオープンセット(開集合)マイナス任意のクローズドセット(閉集合)はオープン(開)であるという命題によって。

Ui1,2(intSiSi1)に関しては、もしも、Ui1,2が空でなければ、任意のポイントpUi1,2の周りに、あるオープン(開)(Si1上で)ネイバーフッド(近傍)NpUi1,2がある、Np=NpSi1、ここで、NpTα上でオープン(開)、Np=Np(intSiSi2)を代わりに使える、なぜなら、いずれにせよNpSi1=Np、なぜなら、NpUi1,2intSiSi2(なぜなら、\(U_{i - 1, 2} \subseteq {S_{i - 1}''' \setminus U_{i - 1, 1}\)およびSi2intSi2Ui1,1、したがって、Ui1,2Si1(Si2intSi2)=(Si1intSi2)(Si2intSi2)=Si1Si2intSiSi2Si1intSiであるから)、しかし、NpUi1,2(intSiSi1)、なぜなら、そうでなければ、NpintSiSi2であるから、もしも、以下を満たすあるポイントpNp、つまり、p(intSiSi2)(Ui1,2(intSiSi1))、それが意味するのは、pUi1,2、があったら、pSi1=Si1intSi2、なぜなら、pSi1(なぜなら、そうでなければ、pintSiSi1、すると、p(intSiSi2)(Ui1,2(intSiSi1))、矛盾)およびpSi2、したがって、pNpSi1=NpUi1,2pUi1,2に反する矛盾;任意のポイントpintSiSi1に対して、あるオープン(開)(Tα上で)ネイバーフッド(近傍)NpintSiSi1がある、なぜなら、intSiSi1Tα上でオープン(開)であるから、任意のオープンセット(開集合)マイナス任意のクローズドセット(閉集合)はオープン(開)であるという命題によって、したがって、Ui1,2(intSiSi1)Tα上でオープン(開)である。

したがって、SiTα上でオープン(開)である。

Sij<i1またはi+1<jのどのSjともインターセクトしない(交わらない)、なぜなら、j=i2に対して、もしも、0<i2であれば、Si2=Si2Ui3,2Ui1,1およびSi=SiUi1,2Ui+1,1Si2Si=およびUi1,1Ui1,2=で、その他のコンビネーションたちは明らかに空である;もしも、0=i2であれば、単にUi3,2が存在しないだけで主張は成り立つ;j<i2に対しては、事はより明らかである;i+1<jに対しては、i,jの役割を入れ替えればよい。

さて、Tαの任意のオープンカバー(開被覆){Vβ|βB}、ここで、Bはアンカウンタブル(不可算)かもしれないインデックスたちセット(集合)、に対して、それは、各Siのオープンカバー(開被覆)である、そして、Siはコンパクトであるから、あるファイナイト(有限)サブカバー{Vi,j|jJi}、ここで、Jiiに依存するファイナイト(有限)インデックスたちセット(集合)、がある、そして、{Vi,j:=Vi,jSi|jJi}、それは、Siのオープンカバー(開被覆)であり、Siに包含されている、を取ろう。

i{Vi,j|jJi}は元のオープンカバー(開被覆)のあるローカルにファイナイト(有限)なリファインメント(洗練)である、なぜなら、もしも、それはオープンカバー(開被覆)である、なぜなら、Tα{Si}によってカバーされており、各Siはそれによってカバーされているから;それはリファインメント(洗練)である、なぜなら、Vi,jVi,j=Vβ; それはローカルにファイナイト(有限)である、なぜなら、任意のポイントpTαに対して、あるiに対して、pSiSipのオープンネイバーフッド(開近傍)であり、Si1およびSi+1のみとインターセクトし(交わり)、したがって、Si1SiSi+1に包含されている有限のVi,jたちのみとインターセクトする(交わる)。

したがって、各Tαはパラコンパクトであり、T={Tα|αA}はパラコンパクトである。

Tはパラコンパクトであると仮定しよう。

Tのオープンカバー(開被覆)を以下のように取ろう、つまり、各ポイントpTの周りにあるオープンネイバーフッド(開近傍)でそのクロージャー(閉包)がコンパクトであるものを取る、それは可能である、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のポイントの周りに、オープンネイバーフッド(開近傍)であってそのクロージャー(閉包)がコンパクトであるものがあるという命題によって。Tはパラコンパクトであるから、あるローカルにファイナイト(有限)なリファインメント(洗練)があるが、任意の新オープンネイバーフッド(開近傍)のクロージャー(近傍)は対応する元のネイバーフッド(近傍)のコンパクトクロージャーに包含されており、コンパクトサブスペース(部分空間)内のクローズドセット(閉集合)として、新クロージャー(閉包)は元のクロージャー(閉包)上でコンパクトでありT上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のサブスペース(部分空間)の任意のコンパクトサブセット(部分集合)はベーススペース(空間)上でコンパクトであるという命題によって。本リファインメント(洗練)を{Uβ|βB}、ここで、Bはあるアンカウンタブルかもしれないインデックスたちセット(集合)、と表わそう。

インダクティブ(帰納的)に、オープンセット(開集合)たち{Vβ,i}でそれらのクロージャー(閉包)たちがコンパクトであるものたちのあるシーケンス(列)を定義しよう、各Uβから開始して。Vβ,0:=Uβ;0<iであるVβ,iに対して、Vβ,i1とインターセクトする(交わる)全てのUβたち、その数は有限である、任意のトポロジカルスペース(空間)の任意のローカルに有限なカバーに対して、任意のコンパクトサブセット(部分集合)は当該カバーの有限数要素たちのみとインターセクトするという命題によって、を取る。それらのUβたちはVβ,i1のあるオープンカバー(開被覆)を形成する、そして、Vβ,iをそれらUβたちのユニオン(和集合)として定義しよう。Vβ,iは それらUβたちのクロージャー(閉包)たちのユニオン(和集合)である、任意の有限数サブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)のクロージャー(閉包)は当該サブセット(部分集合)たちのクロージャー(閉包)たちのユニオン(和集合)であるという命題によって、そして、コンパクトである、任意のトポロジカルスペース(空間)に対して、任意の有限数コンパクトサブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)はコンパクトであるという命題によって。Vβ,iVβ,i+1

Vβ:=iVβ,i、それはいくつかのカウンタブル(可算)Uβたちのユニオン(和集合)である。VβはそれらUβたちのクロージャー( 閉包)たちのユニオン(和集合)である、任意のトポロジカルスペース(空間)の任意のローカルに有限なオープンカバー(開被覆)に対して、当該カバー(被覆)内の任意のアンカウンタブル(不可算)かもしれないオープンセット(開集合)たちのユニオン(和集合)のクロージャー(閉包)は当該オープンセット(開集合)たちのクロージャー(閉包)たちのユニオン(和集合)であるという命題によって、しかし、各クロージャー(閉包)はあるVβ,iに包含されている、しかし、Vβ,iVβ,i+1Vβ、したがって、Vβ=VβVβσコンパクトである。

{Vβ|βB}Tをカバーする、なぜなら、任意のポイントpTに対して、以下を満たすあるUβ、つまり、pUβ、がある、そして、pVβ

α,βBである任意のVα,Vβに対して、Vα=VβまたはVαVβ=であることを証明しよう。

VαVβであると仮定しよう。あるポイントpVαVβおよび以下を満たすあるUγ、つまり、γB,pUγ、がある。UγVα、なぜなら、あるiに対して、UγVα,i、したがって、UγVα,i+1VαVγVα、なぜなら、そうでなければ、Vγ(TVα);以下を満たすあるi、つまり、Vγ,iVα、(したがって、Vγ,iVαVαはクローズド(閉)であるから)および以下を満たすあるδB、つまり、UδVγ,iおよびUδ(TVα)、があることになる、なぜなら、Vγ,0Vαで、Vγ,iはあるiにおいてVαの外に出なければならないだろうから、しかし、あるjに対して、UδVα,j、なぜなら、Vγ,iVαおよびUδVγ,i、すると、UδVα,j+1VαUδ(TVα)に反する矛盾。


しかし、実のところ、Vγ=Vαである、以下のように証明されるとおり。

VγVαだと仮定しよう。

VαUαから生成され、UαVα、しかし、UαVγまたはUαVαVγ、なぜなら、そうでなければ、¬UαVγおよびUαVγであるから、すると、あるiに対して、UαVγ,iであるから、UαVγ,i+1Vγ、矛盾。

もしも、UαVγであったら、あるiに対して、Vα,iVγ(なぜなら、少なくともVα,0Vγ)、Vα,iVγ、なぜなら、Vγはクローズド(閉)である、すると、以下を満たすあるUβ、つまり、あるiに対して、Vα,iUβおよびUβ(VαVγ)があることになる(Vα,i+1Vγの内側に居続けないために)、しかし、すると、UβVγVα,iVγであるから、あるjに対して、Vγ,jUβ、したがって、UβVγ,j+1VγUβ(VαVγ)に反する矛盾、したがって、UαVγは不可能である。


もしも、UαVαVγであったら、あるiに対して、Vα,iVγ=(なぜなら、少なくともVα,0Vγ=)、したがって、Vα,iVγ=任意のディスジョイント(互いに素)なサブセット(部分集合)とオープンセット(開集合)に対して、サブセット(部分集合)のクロージャー(閉包)とオープンセット(開集合)はディスジョイント(互いに素)であるという命題によって、そして、Vα,i+1Vγ=、なぜなら、そうでなければ、以下を満たすUβ、つまり、Vα,iUβおよびUβVγ、があることになる、しかし、すると、あるjに対して、UβVγ,jUβVγ,j+1Vγ、それは、Vα,iVγ=およびVα,iUβ、それが意味するのは、以下を満たすあるpVα,iUβ、つまり、pVγ、があるということ、に矛盾することになる、したがって、pUβおよびpVγ、それはUβVγに矛盾することになる。したがって、VαVγ=、それはVγVαに矛盾する、したがって、UαVαVγは不可能である。


したがって、VγVαは間違いだったのであり、Vγ=Vα

同様に、Vγ=Vβ

したがって、Vα=Vβ

したがって、{Vβ|βB}の重複を除いたもの{Tα|αAB}、ここで、あるβBに対して、Tα=Vβ、はTのあるディスジョイント(互いに素な)オープン(開)カバーであり、T=αTαはいくつかのディスジョイント(互いに素な)オープン(開)σコンパクトサブスペース(部分空間)たちのユニオン(和集合)である。


参考資料


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