325: トランシティブ（推移的）リレーション（関係）たちのセット（集合）のインターセクション（共通集合）はトランシティブ（推移的）である

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トランシティブ（推移的）リレーション（関係）たちのセット（集合）のインターセクション（共通集合）はトランシティブ（推移的）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トランシティブ（推移的）リレーション（関係）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のトランシティブ（推移的）リレーション（関係）たちの任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）はトランシティブ（推移的）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のアンカウンタブルかもしれない数のトランシティブ（推移的）リレーション（関係）たちの任意のセット（集合）$S=\{R_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$はアンカウンタブルかもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、インターセクション（共通集合）${\cap }_{\alpha \in A}{R}_{\alpha }$はトランシティブ（推移的）である。

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2: 証明

任意の$⟨s_1,s_2⟩,⟨s_2,s_3⟩\in {\cap }_{\alpha \in A}{R}_{\alpha }$に対して、各$\alpha$に対して、$⟨s_1,s_2⟩,⟨s_2,s_3⟩\in R_{\alpha }$。各$R_{\alpha }$はトランシティブ（推移的）であるので、各$\alpha$に対して、$⟨s_1,s_3⟩\in R_{\alpha }$、したがって、$⟨s_1,s_3⟩\in {\cap }_{\alpha \in A}{R}_{\alpha }$。

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参考資料

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